Solución de la ecuación diferencial de segundo orden

Question

Consideremos la ecuación diferencial $$\frac{d^2y}{dx^2}-2\tan x \frac{dy}{dx}-y=0$$ definido en $\big(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\big)$ . ¿Cuál de las siguientes opciones es cierta?

1. hay exactamente una solución $y=y(x)$ con $y(0) = y'(0) = 0$ y $y\big(\frac{\pi}{3}\big) = 2\big(1+\frac{\pi}{3}\big)$

2. hay exactamente una solución $y=y(x)$ con $y(0) =1, \ y'(0) = -1$ y $y\big(-\frac{\pi}{3}\big) = 2\big(1+\frac{\pi}{3}\big)$

3. cualquier solución $y=y(x)$ satisface $y''(0) = y(0)$ .

4. si $y_1$ y $y_2$ son dos soluciones cualesquiera, entonces $(ax+b)y_1 = (cx+d)y_2$ para algunos $a, b, c, d \in \mathbb{R}$ .

¿Cómo resolver el problema anterior?

Answer 1

Opción 3 Sólo tienes que comprobar... $$y''(0)=y(0) \implies -2\tan (0)y'(0)=0 \text { and } \tan(0)=0$$ Haga lo mismo con la opción 4 Introduce la solución dada $y_1,y_2$ y tratar de encontrar a,b,c,d...

Tenga en cuenta que (incluso no necesita la solución exacta para este ejercicio)

$$\frac{d^2y}{dx^2}-2\tan x \frac{dy}{dx}-y=0$$ $$\cos(x)\frac{d^2y}{dx^2}-2\sin x \frac{dy}{dx}-y\cos(x)=0$$ $$\cos(x)\frac{d^2y}{dx^2}-\sin x \frac{dy}{dx}-\sin x \frac{dy}{dx}-y\cos(x)=0$$ $$(\cos(x)y')'-(\sin (x )y)'=0$$ Puedes integrarlo fácilmente $$(\cos(x)y')-(\sin (x )y)=K_1$$ $$(\cos(x)y)'=K_1 \implies \cos(x)y=K_1x+K_2$$