¿Contraejemplo de "el producto de subconjuntos abiertos es abierto en un anillo topológico"?

Question

Dado un anillo topológico $R$ y $U,V$ subconjuntos abiertos, podemos demostrar que $U+V$ es un subconjunto abierto debido a que $x\mapsto x+y$ es un homeomorfismo para cada $y \in R$ . Ya que, en general, $R$ no es un anillo de división, no es fácil si $UV$ está abierto o no.

Mi intuición me dice que debe existir $R$ y $U,V$ subconjuntos abiertos tales que $UV$ no está abierto, pero no puedo construirlo.

Answer 1

He aquí un ejemplo tonto: Dejemos que $A$ sea cualquier grupo abeliano topológico no discreto. Dotarlo de la multiplicación por cero. Entonces $A$ es un anillo topológico no unitario y $UV=\{0\}$ no está abierto para todos los subconjuntos no vacíos $U,V$ .

Para obtener un ejemplo unital, considere la unitalización $\widetilde{A}$ . El grupo abeliano subyacente es simplemente $\mathbb{Z} \times A$ la multiplicación es $(n,a) (m,b) = (nm,nb+ma)$ para que la unidad sea $(1,0)$ . Vamos a dotar $\mathbb{Z} \times A$ con la topología del producto, donde $\mathbb{Z}$ lleva la topología discreta. Entonces $\widetilde{A}$ es un anillo topológico unital. Si $U,V$ son cualesquiera subconjuntos abiertos no vacíos de $A$ entonces $\{0\} \times U $ y $\{0\} \times V $ son subconjuntos abiertos de $\widetilde{A}$ con $(\{0\} \times U) \cdot (\{0\} \times V) = \{(0,0)\}$ que no está abierto.

Podría ser una cuestión interesante encontrar las condiciones bajo las cuales el producto de dos subconjuntos abiertos es de nuevo un subconjunto abierto. Para $\mathbb{R}$ la propiedad se satisface (Edición: en los comentarios se muestra para cada anillo de división topológica.) Y me sorprendería mucho que fallara para $\mathbb{Z}_p$ . De forma más general, creo que la propiedad se mantiene para muchos anillos topológicos en la práctica.