Grupo de orden $p^n$ tiene un elemento de orden $p$ sin el teorema de Cauchy

Question

Dejemos que $p$ sea un número primo y $G$ sea un grupo con $|G|=p^n$ . Demuestre que G contiene un elemento de orden $p$ .

Yo diría inmediatamente: "¡utiliza el teorema de Cauchy!", pero esta pregunta es de un curso que aún no lo ha introducido. ¿Hay otra forma de demostrarlo?

Está claro que cada elemento tiene un orden $p^r$ para algunos $r\leq n$ debido al teorema de Lagrange. ¿Cómo podemos proceder?

Answer 1

Tome $g \in G$ , $g\ne 1$ . Entonces el orden de $g$ es $p^k$ y así el orden de $g^{p^{k-1}}$ es $p$ .