Mejor manera de hacer $\lim_{n\to\infty}\frac{(3n-1)^{1/n}}{{\sqrt{2}}^{1/n}}$

Question

Quiero encontrar este límite:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{(3n-1)^{1/n}}{{\sqrt{2}}}$$

porque estoy tratando de demostrar la convergencia de la serie

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3n-1}{(\sqrt{2})^{n}}$$

por la prueba de la raíz n-ésima.

Wolfram Alpha me da una solución paso a paso que involucra la Regla de L'Hopital pero aún no me permite usarla. ¿Alguna idea?

Gracias :)

Answer 1

El uso de la prueba de la raíz no parece la mejor manera: la prueba de la proporción requiere $$ \lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{(\sqrt{2})^{n+1}}\frac{(\sqrt{2})^n}{3n-1} =\frac{1}{\sqrt{2}}<1 $$

Para la prueba de la raíz: se necesita $$ \lim_{n\to\infty}\frac{(3n-1)^{1/n}}{\sqrt{2}} $$ Así que sólo necesitas el límite del numerador y tomar el logaritmo te lleva a $$ \lim_{n\to\infty}\frac{\log(3n-1)}{n}=0 $$ Por lo tanto, $\lim_{n\to\infty}(3n-1)^{1/n}=e^0=1$ .

¿Por qué ese límite es cero? Calcula en su lugar $$ \lim_{x\to\infty}\frac{\log(3x-1)}{x}= \lim_{x\to\infty}\frac{\log(3x-1)}{3x-1}\frac{3x-1}{x} $$ El segundo factor tiene límite $3$ . Para la primera haga el cambio de variables $3x-1=e^t$ , por lo que se obtiene $$ \lim_{t\to\infty}\frac{t}{e^t} $$ que deberías saber que es cero.

Answer 2

Al notar que $$\sqrt[3n-1]{3n-1} \le \sqrt[n]{3n-1} \le \sqrt[n]{3n} = \sqrt[n]3 \sqrt[n]n$$ y utilizando el hecho de que $\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]n=1$ ver aquí ou aquí conseguimos que $$\lim\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{3n-1} = 1.$$

Por lo tanto, $$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{\sqrt[n]{3n-1}}{\sqrt2} = \frac1{\sqrt2}.$$