Existe un único $x, y\in \Bbb{N}$ que satisfagan $x^2+84x + 2008=y^2$ . Encuentre $x+y$ .

Question

Existe un único $x, y\in \Bbb{N}$ que satisfagan $x^2+84x + 2008=y^2$ . Encuentre $x+y$ .

He intentado esta pregunta completando el cuadrado de la izquierda, pero la respuesta sale rara. Por favor, ayúdame.

Answer 1

Pista :Completa el cuadrado para $x$ \begin{eqnarray*} (x+42)^2+244=y^2 \\ \color{red}{(y+x+42)}\color{blue}{(y-x-42)} = \color{red}{122} \times \color{blue}{2} \end{eqnarray*}

$y=62,x=18$

Answer 2

La ecuación sobre los enteros es $$ x^2+84x+2008-y^2=0, $$ lo que equivale a $$ x=\pm \sqrt{y^2-244}-42. $$ Por lo tanto, $y^2-244=z^2$ para algún número entero $z$ es decir, $(y-z)(y+z)=244$ Para $244=2\cdot 122$ obtenemos $y-z=2$ y $y+z=122$ para que $y=62$ y $x=18$ .

Answer 3

Tal vez un poco menos de golpeo (y creo que una solución más rápida):

Lo tenemos:

$$ (x+42)^2 <x^2+84x+2008 <(x+45)^2$$ así $$ (x+42)^2 <y^2 <(x+45)^2$$ así que $$ x+42 <y <x+45$$

así que $y= x+43$ ou $y=x+44$ . Introduciendo la ecuación original obtenemos una solución.