Me parece que todos los conjuntos en matemáticas se pueden construir a través de estos dos símbolos solamente. Por ejemplo, los números naturales se definen como $0 = \varnothing = \{\}, 1 = \{0\}$ , $2 = \{0, 1\}, 3 = \{0, 1, 2\}$ y así sucesivamente. De esto se deduce que $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$ e incluso $\mathbb{C}$ puede construirse utilizando $\{$ y $\}$ sólo. ¿Existe algún conjunto que no pueda construirse, en teoría, sólo con estos dos símbolos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
DanV
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No, el axioma de regularidad nos dice esencialmente que dado un conjunto $x$ existe una secuencia finita $x_0=x,x_n=\varnothing$ tal que $x_n\in\ldots\in x_0$ .
Una forma diferente de verlo sería ver que en $\sf ZF$ podemos demostrar que el universo se construye realmente a partir del conjunto vacío iterando el conjunto de potencias. Así que, esencialmente, la respuesta es negativa. Aunque hay que tener cuidado ya que el conjunto de todos los números naturales sería uno que tiene cada vez más "llaves de apertura", pero no hay una secuencia infinita de llaves de cierre. Esto podría coincidir y podría no coincidir con la noción de "construcción" que la gente tiene en su cabeza.
