¿Versión modificada del problema de Monty Hall?

Question

Mi amigo me pidió una versión modificada de El problema de Monty Hall en su opinión. Pero me parece que la descripción es un poco espeluznante y tal vez alguien aquí puede iluminar nos puede iluminar cuál es el problema con la descripción del problema, o tal vez soy yo quien se pierde algo.

Imagina exactamente la misma configuración que en el problema de la sala mensual con una diferencia. Imagina que elijo una carta al azar. Ahora, a diferencia del problema original, el presentador no sabe dónde está el coche, y de las dos cartas restantes elige al azar una carta: si resulta ser una cabra el presentador nos muestra esta carta (como en el juego original), sin embargo, si resulta ser un coche, mi amigo dice que "abandona" el juego (o no considera tal caso). Ahora la pregunta es la misma que en el problema original, ¿es mejor que cambie mi elección inicial?

Uno de los problemas de esta descripción es, sobre todo, la parte de "abandonar". ¿No entorpece esto el proceso de calcular si debemos cambiar o no? ¿Cómo se modela el caso de que el anfitrión abandone el juego (para calcular si se debe cambiar o no)?

Afirmó que en ese caso, cambiar mi elección inicial ya no me da ninguna ventaja e hizo un programa de simulación como el siguiente. Hizo 10000 experimentos, donde se saltaba la parte en la que el anfitrión eligió un coche, por lo que, por supuesto, se quedó con 2/3 de los casos de prueba del experimento, y afirmó que ahora, ya que el número de partidos que el usuario hizo (1/3 de 1000) es la mitad del número de casos de prueba (2/3 de 1000 - los que el anfitrión no eligió un coche) - ya no es ventajoso cambiar la tarjeta.

No encuentro ningún fallo ni en la descripción del problema ni en la implementación que he mencionado anteriormente. ¿Puede alguien ayudar a averiguar qué es lo que falla en la descripción del problema o en la implementación?

Agradecería un poco de ayuda porque me he confundido en general con todo el asunto ahora (mientras que entiendo bien el problema original de los pasillos de mesy).

PS. Aquí está la implementación de Java en realidad: http://codepad.org/rt7fOqei donde deduce que como match es la mitad de count entonces no tiene sentido cambiar mi elección inicial.

Answer 1

Si el anfitrión no tiene información privilegiada, entonces sin información nueva no debería ganar nada con el cambio.

Sin embargo, se pueden modelar los resultados de forma explícita.

escenario 1. Eliges la carta correcta (P = 1/3). El anfitrión revela una probabilidad de cabra (siempre).

escenario 2. eliges la carta equivocada P = 2/3 el anfitrión revela el coche (P=1/2) se acabó el juego (P neto = 1/3)

escenario 3. eliges la carta equivocada (P = 2/3) el anfitrión revela la cabra (P=1/2) el juego continúa P = 1/3.

Si has sobrevivido al escenario 2. la probabilidad condicional es que hay un 50% de que tengas la carta correcta y un 50% de que tengas la carta equivocada.

Aquí hay una foto

Supongamos que el coche está en la tarjeta A (usted no lo sabe).

Usted elige, A,B o C. (las líneas negras). El anfitrión elige la línea roja. Usted hace la elección final de mantener o cambiar.

Todas las opciones de mantener o cambiar son igualmente probables. La mitad gana, la mitad pierde.

Answer 2

En el juego modificado, identifica las 3 cartas como (1) la carta que eliges al azar (2) la carta que el anfitrión elige al azar entre las dos cartas restantes (3) la otra carta. Se supone que las dos selecciones al azar se hacen sin ninguna información sobre qué carta es la ganadora, a diferencia del problema real de Monte Hall.

Antes de mostrar (2), todas tienen la misma probabilidad de ser la carta ganadora, por simetría. Si se muestra que (2) no es la carta ganadora, las cartas restantes (1) y (3) siguen teniendo la misma probabilidad de ser la carta ganadora, de nuevo por simetría. Lo mismo ocurre si se demuestra que (2) es la carta ganadora, pero como las probabilidades son iguales a cero, en ese caso es mejor abandonar.

Answer 3

El "abandono" es simplemente tirar un tercio de los juegos y no tenerlos en cuenta. Esto se debe a que estás "viendo" el problema en un momento concreto; después de que el anfitrión diga su carta y antes de que tú, el jugador, decidas cambiar.

Imagina que en lugar de renunciar el anfitrión saca un frasco de antimateria y destruye todo el universo si consigue el coche. Entonces, antes del juego, ¿cuál es la probabilidad de que la Tierra siga existiendo a la mañana siguiente? La respuesta es $\frac 23$ . Así que el anfitrión da la vuelta a una carta al azar y ... gracias a dios ...¡es una cabra! AHORA Dado esto, ¿cuál es la probabilidad de que algo suceda en esta línea de tiempo después de un evento con $\frac 23$ probabilidad de que ocurra hizo ¿sucede?

Esto es probabilidad condicional y un caso muy simple.

Había tres resultados igualmente probables de dónde estaba el coche: $1,2,3$ .

Hay tres resultados igualmente probables para la tarjeta que elijas $9$ resultados igualmente probables.

En ellas hay $2$ resultados igualmente probables para que lo que la tarjeta de la elección de acogida para $18$ evento igualmente probable.

En $1/3$ de los casos elegimos el coche y la probabilidad de que el anfitrión también lo elija es $0$ . Pero en $2/3$ de los casos no elegimos el coche y el anfitrión y un $1/2$ probabilidad de elegir el coche (y el universo termina), esto es una $\frac 12*\frac 23= \frac 13$ probabilidad de que todos acabemos en el olvido.

Aquí están los $18$ los casos se explican con detalle:

$[1:1:2], [1:1:3], \color{red}{[1:2:1]}, [1:2:3], \color{red}{[1:3:1]},[1:3:2], \color{red}{[2:1:2]}, [2:1:3], [2:2:1], [2:2:3], [2:3:1],\color{red}{[2:3:2]}, [3:1:2],\color{red}{[3:1:3]}, [3:2:1], \color{red}{[3:2:3]}, [3:3:1], [3:3:2]$ .

En $6 $ de ellos el universo termina. De la $12$ igualmente probables que permanezcan, es igualmente probable que cambiemos. Las posibilidades que se han explicado son:

$\color{blue}{[1:1:2:\text{stay with car #1}]},[1:1:2:\text{switch to goat #3}] \color{blue}{[1:1:3:\text{stay with car #1}]},[1:1:3:\text{switch to goat #2}], \color{red}{[1:2:1:\text{the universes ended. We don't have a choice}]}, [1:2:3:\text{stay with goat # 1}]\color{blue}{[1:2:3:\text{switch to car # 2}]}, \color{red}{[1:3:1:]\text{the universes ended. We don't have a choice}},[1:3:2:\text{stay with goat # 3}]\color{blue}{[1:3:2:\text{switch to car # 1}]}, \color{red}{[2:1:2:\text{the universes ended. We don't have a choice}]}, [2:1:3:\text{stay with goat # 2}]\color{blue}{[2:1:3:\text{switch to car # 1}]}, \color{blue}{[2:2:1:\text{stay with car #2}]},[2:2:1:\text{switch to goat #3}], \color{blue}{[2:2:3:\text{stay with car #2}]},[2:2:3:\text{switch to goat #1}], [2:3:1:\text{stay with goat # 2}]\color{blue}{[2:3:1:\text{switch to car # 3}]}, \color{red}{[2:3:2:\text{the universes ended. We don't have a choice}]}, [3:1:2:\text{stay with goat # 3}]\color{blue}{[3:1:2:\text{switch to car # 1}]}, \color{red}{[3:1:3:\text{the universes ended. We don't have a choice}]}, [3:2:1][3:2:1:\text{stay with goat # 3}]\color{blue}{[3:2:1:\text{switch to car # 2}]}, \color{red}{[3:2:3:\text{the universes ended. We don't have a choice}]}, []\color{blue}{[3:3:1:\text{stay with car #3}]},[3:3:1:\text{switch to goat #2}], \color{blue}{[3:3:2:\text{stay with car #3}]},[3:3:2:\text{switch to goat #1}]$ .

Los casos rojos podrían haber ocurrido pero no lo hicieron. Están fuera de la mesa. De los 24 casos restantes, igualmente probables, 12 de los azules tienen resultados favorables y 12 de los negros tienen resultados desfavorables.