¿Representación finita implica planar para álgebras de carcaj?

Question

Dejemos que $A=KQ/I$ sea un álgebra quiver de dimensión finita con un ideal admisible $I$ .

¿Es cierto que en caso de $A$ es de representación finita, $Q$ ¿tiene que ser planar?

En caso de que sea cierto una posible aproximación sería utilizar el criterio de Kuratowski que dice que un grafo es planar si no contiene un subgrafo homeomorfo a $K_{3,3}$ ou $K_5$ . Entonces se puede demostrar que para todas las orientaciones posibles y $I=J^2$ para $Q=K_{3,3}$ ou $Q=K_5$ sólo se obtienen álgebras de representación infinita, pero probablemente la "parte homeomórfica" dice que puede haber más casos a considerar que esos dos (pero esperemos que sólo sean finitamente muchos casos)

Aquí se utiliza que en caso $A$ es de representación finita entonces también $eAe$ para cualquier idempotente (correspondiente a un subgrafo) y también $KQ/I'$ cuando $I'=J^2$ está generada por todas las trayectorias de longitud mínima de dos.

Answer 1

Consideremos las álgebras de caminos $KQ$ modulo relaciones de "cuadrado radical cero" (es decir, los caminos de longitud dos son cero). Es bien sabido que éstos tienen un tipo de representación finito si y sólo si el carcaj separado de $Q$ es una unión disjunta de quivers de Dynkin.

Si $Q$ es el gráfico completo $K_5$ en cinco vértices (no planos), orientados de forma que haya flechas desde el vértice $i$ a los vértices $i+1$ y $i+2$ (modulo $5$ ), entonces el carcaj separado es de tipo euclidiano $\tilde{A}_9$ , por lo que no tenemos un álgebra de tipo de representación finita.

Sin embargo, si ponemos un vértice extra en medio de una arista, sustituyendo $$\bullet\longrightarrow\bullet$$ con $$\bullet\to\bullet\to\bullet$$ entonces el carcaj separado pasa a ser de tipo Dynkin $A_{12}$ , por lo que sí tenemos un álgebra de tipo de representación finita.