Prueba de que $\mathrm{min}(f,g)$ es continua en $x_0 \in \mathbb{R}$ cuando $f, g$ son continuas en $x_0$

Question

Ya lo demostré usando la fórmula

$$\min(f,g) = \frac{1}{2}(f+g) - \frac{1}{2} |f-g|$$

Ahora, estoy tratando de hacerlo por un $\epsilon$ - $\delta$ enfoque.

He dividido el problema en dos casos

$$f(x_0) = g(x_0)$$ y $$f(x_0) < g(x_0)$$

Donde $f(x_0) > g(x_0)$ se demuestra de la misma manera que $f(x_0) < g(x_0)$ .

No sé cómo proceder.

Gracias

Answer 1

Dejemos que $x_0\in\mathbb R$ , dejemos que $\varepsilon>0$ y tomar $\delta>0$ tal que $$\lvert x-x_0\rvert<\delta\implies\bigl\lvert f(x)-f(x_0)\bigr\rvert,\bigl\lvert g(x)-g(x_0)\bigr\rvert<\frac\delta2.$$ Entonces, si $\lvert x-x_0\rvert<\delta$ , \begin{multline}\left\lvert\max\bigl(f(x),g(x)\bigr)-\max\bigl(f(x_0),g(x_0)\bigr)\right\rvert=\\=\left\lvert\frac{f(x)+g(x)-\bigl\lvert f(x)-g(x)\bigr\rvert}2-\frac{f(x_0)+g(x_0)-\bigl\lvert f(x_0)-g(x_0)\bigr\rvert}2\right\rvert=\\=\frac{\bigl\lvert f(x)-f(x_0)+g(x)-g(x_0)-\bigl\lvert f(x)-g(x)\bigr\rvert+\bigl\lvert f(x_0)-g(x_0)\bigr\rvert\bigr\rvert}2\leqslant\\\leqslant\frac{\bigl\lvert f(x)-f(x_0)\bigr\rvert+\bigl\lvert g(x)-g(x_0)\bigr\rvert+\left\lvert\bigl\lvert f(x)-g(x)\bigr\rvert-\bigl\lvert f(x_0)-g(x_0)\bigr\rvert\right\rvert}2\leqslant\\\leqslant\bigl\lvert f(x)-f(x_0)\bigr\rvert+\bigl\lvert g(x)-g(x_0)\bigr\rvert<\\<\delta.\end{multline}

Answer 2

Sugerencia: si $f(x_0)<g(x_0)$ hay un vecindario $U$ de $x_0$ tal que $$ f(x)<g(x).\quad\text{for every $ x\in U $} $$