Encuentra todos los homomorfismos de $S_3$ a $C_6$ . ¿Hay isomorfismos?

Question

Encuentra todos los homomorfismos de $S_3$ a $C_6$ . ¿Existen isomorfismos? Recordemos que \begin{align} S_3 = \langle x,y : x^2 = y^2 = (xy)^3 = (yx)^3 = e \rangle. \end{align}

Supongamos que el grupo cíclico $C_6$ es generado por un elemento $z$ Así que podemos decir $C_6 = \langle z \rangle$ . Supongamos ahora que $f$ es un homomorfismo de $S_3$ a $C_6$ . Entonces (según mi profesor), $f(x), f(y) \in \{e,z^3\}$ . ¿Cómo es esto? Si entiendo esto, creo que sería capaz de completar esta prueba por mi cuenta.

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Sugerencia por qué $\{f(x),f(y)\}=\{e,z^3\}$ . Evaluar $f(x^2)$ de dos maneras, una utilizando la definición de "homomorfismo" y otra utilizando la definición de $S_3$ .

Suponiendo que $f(x)$ es un homomorfismo, entonces si $f(x) = e$ , $f(x^2) = f(x)^2 = e^2 = e$ . Si $f(x) = z^3$ entonces $f(x)^2 = (z^3)^2 = (z^6) = e$ . Si $f(x)$ es otra cosa, entonces no conseguiremos $f(x^2) = e$ . Por lo tanto, $f(x) \in \{e,z^3\}$ .

Answer 1

Sugerencia por qué $f(x),f(y)\in\{e,z^3\}$ . Evaluar $f(x^2)$ de dos maneras, una utilizando la definición de "homomorfismo" y otra utilizando la definición de $S_3$ .

Sugerencia para "¿hay isomorfismos?" - ¿conoces algún hecho importante sobre $C_6$ lo que no es cierto para $S_3$ ?

Answer 2

Dejemos que $C_6$ ser generado por un elemento $z$ es decir $C_6 = \langle z \rangle$ . Sea $f$ sea también un homomorfismo de $S_3$ a $C_6$ . Entonces es cierto que $$f(x),f(y) \in \{e,z^3\}$$

Si $f(x) \not= f(y)$ entonces $$(f(x)f(y))^3=(z^3)^3 = z^3 \not= e$$ Así que $f$ no es un homomorfismo en este caso. Por lo tanto, debemos tener $f(x)=f(y)$ .

Si $f(x) =e= f(y)$ entonces $$(f(x)f(y))^3=(e \cdot e)^3 = e$$ Así que $f$ es un homomorfismo si envía todos los elementos de $x,y$ a $e$ .

Si $f(x) = z^3 = f(y)$ entonces $$(f(x)f(y)^3=(z^3 \cdot z^3)^3 = (z^6)^3 = e^3 = e$$ Así que $f$ también es un homomorfismo si envía todos los elementos de $x,y$ a $z^3$ .