Fórmula de Euler y $\sin^3$

Question

Utilizando la fórmula:

$$e^{i\omega t} = \cos {\omega t} + i\sin{\omega t}$$

Me gustaría demostrarlo:

$$\sin^3\;x = -\frac{\sin{3x} - 3\sin{x}}{4} $$

Sin embargo, no he encontrado ningún enfoque para esta cuestión. Simplemente convirtiendo la primera fórmula en $\sin^3$ no parece ayudar ya que sigo recibiendo $\cos^3$ en el otro lado. ¿Puede alguien ayudarme a guiarme por el camino correcto?

Answer 1

$$ \sin^3 x = \left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right)^3 = \frac{e^{i3x}-3e^{ix}+3e^{-ix}-e^{-i3x}}{-8i} $$

$$ = -\frac{1}{4}\left(\frac{e^{i3x}-e^{-i3x}}{2i}\right) +\frac{3}{4}\left(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\right) = -\frac{\sin 3x - 3\sin x}{4} $$

Answer 2

No es necesario conocer el Teorema de De Moivre, de hecho está implícito en la primera fórmula.

Prueba con $(e^{i\omega t})^3 = (\cos {\omega t} + i\sin{\omega t})^3$ .

Pero también tiene

$$ (e^{i\omega t})^3 = e^{i3\omega t} = \cos {3\omega t} + i\sin{3\omega t}$$

utilizando la primera fórmula con $3\omega t$ en lugar de $\omega t$ .

Iguala los dos, toma las partes real e imaginaria, y utiliza $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ para obtener todo en términos de la $\sin$ función.

Answer 3

Así es como se hace:

Por el teorema de De Moivre, debes saber que

$(\cos 3x + i \sin 3x) = (\cos x + i \sin x)^3$ .

Expandir el término del lado derecho utilizando el teorema del binomio, a saber $(\cos 3x + i \sin 3x) = \cos^3 x +3i\cos^2 x \sin x - 3\sin^2 x \cos x - i \sin^3 x.$

Por lo tanto, al igualar las partes imaginarias, se debería obtener

$\sin^3 x = 3\cos^2 x \sin x - \sin 3x$ .

Entonces puedes usar el hecho de que $1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ que da:

$\sin^3 x = (3 - 3\sin^2 x)\sin x - \sin3x$ Por lo tanto

$4\sin^3 x = 3\sin x - \sin 3x$

que es lo que quieres.