Demuestre que las siguientes dos líneas se cruzan en un punto con $z \neq 0$

Question

Consideremos las siguientes dos líneas en el espacio proyectivo complejo $\mathbf{P^2}$ :

$a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z = 0$ y $a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z = 0$ .

Suponemos además que $a_{1}b_{2} - b_{1}a_{2} \neq 0$ . Debemos demostrar que estas dos líneas se cruzan en un punto con $z \neq 0$ .

Entiendo que si hay un punto $(x:y:z)$ que se encuentra en ambas líneas, debe seguirse que $z \neq 0$ ya que si $z = 0$ tenemos ecuaciones "linealmente independientes" y por tanto la única solución sería $(0:0:0)$ que no es un punto en $\mathbf{P^2}$ .

Así que para demostrar que hay una solución con $z \neq 0$ No estoy seguro de qué hacer. Creo que haciendo una eliminación gaussiana en las dos ecuaciones anteriores, podemos encontrar condiciones en $x$ y $y$ en términos de $z$ para conseguir que un punto de la forma $(\alpha z, \beta z, z)$ es una solución a ambas ecuaciones y por lo tanto las dos líneas se cruzan en $(\alpha z: \beta z: z) \in \mathbf{P^2}$ donde $z \neq 0$ .

¿Es ésta la forma correcta de enfocar este problema?

Answer 1

Sugerencia: Al trabajar en el subespacio $z\neq0$ de $\Bbb P^2$ , se puede suponer que $z=1$ y así proyectar ese subespacio isomórficamente sobre el $xy$ -Avión.

Answer 2

Una pista:

ponerlo en términos de matriz $$\bf {Ax} = z\, \bf{c}$$

Estás suponiendo que el determinante de $\bf A$ no es nulo, por lo que es invertible:
por lo que para cualquier $z$ y $\bf c$ se obtiene una solución única para $\bf x$ .

Y si $z \ne 0$ ...