Demostrando que $\bigoplus_{i\in\mathbb N}\mathbb Z/2\mathbb Z$ no es un sumando directo de $\prod_{i\in\mathbb N}\mathbb Z/2\mathbb Z$

Question

Sé que si la suma directa de un número contable de copias de $\mathbb Z/2\mathbb Z$ , $I$ fueran un sumando directo del producto directo de un número contable de ejemplares, $R$ (sumando directamente como $R$ -), entonces el complemento sería un sumando directo isomorfo a $R/I$ . Pero no se me ocurre ninguna propiedad del cociente que impida que sea un subgrupo. ¿Me das una pista?

Answer 1

Dejemos que $R=\prod k$ (infinitas copias) sea considerado un módulo sobre sí mismo, $k$ un campo. A continuación, $\bigoplus k$ es un submódulo de $R$ . Supongamos que $N$ es cualquier otro submódulo no trivial (equivalentemente, ideal) de $R$ .

Demostrar que $N$ y $\bigoplus k$ se intersecan de forma no trivial: tomemos un elemento arbitrario no nulo del primero y multipliquémoslo por un elemento de coordenadas aniquilante de $R$ y tú te quedas en $N$ ...