Evaluación de $\ i+i^2+i^3+i^4+\cdots+i^{100}$

Question

$$i+i^2+i^3+i^4+\cdots+i^{100}$$

He descubierto que cada cuatro términos suman cero donde $i^2=-1$ , $i^3=-i$ , $i^4=1$ Así que $$i+i^2+i^3+i^4 = i-1-i+1 = 0$$

Así, toda la serie acaba sumando cero. Pero, ¿cómo puedo plantear este problema de forma más matemática?

Answer 1

$$ \sum_{k=1}^n i^k = \frac{i^{n+1}-1}{i-1}-1 = i\frac{i^n-1}{i-1} $$

pero $i^{100} = 1$ por lo que $\sum_{k=1}^{100} i^k = 0$

Answer 2

Un resultado que es útil en su caso es $\sum_{k=1}^{n} z^k = \frac{z - z^{n+1}}{1 - z}$ . Esto se desprende de $(1 - z) \sum_{k=1}^{n} z^k = (1-z) (z + z^2 + \ldots + z^n) = z - z^{n+1}$ donde asumí $z \neq 1$ .

En tu caso obtienes $\sum_{k=1}^{100} i^k = \frac{i - i^{101}}{1 - i} = 0$ ya que $i^{101} = i$ .

Answer 3

Sólo en aras de la originalidad: $$\sum_{k=1}^{100} i^k =\sum_{p=0}^{24} (i^{4p+1} +i^{4p+2} +i^{4p+3} +i^{4p+4}) =\sum_{p=0}^{24} i^{4p}(i +i^2 +i^3 +i^4).$$ Sabiendo que $i +i^2 +i^3 +i^4 =i -1 -i +1= 0$ significa que su suma también es cero.