La pregunta es la siguiente:
Encuentre un ejemplo de grupo $G$ con un subgrupo $H$ para que $$\{(x, y) | xx^{1} y^{1} \in H\}$$ no es una relación de equivalencia en $G$ .
Llevo horas trabajando en este conjunto de problemas y me cuesta encontrar un ejemplo para esta pregunta.
Considere $G=V=\Bbb Z_2\times \Bbb Z_2$ que se da en la presentación $$\langle a, b\mid a^2, b^2, ab=ba\rangle$$ y el subgrupo $H\cong \Bbb Z_2$ dado por $\langle b\mid b^2\rangle$ . Escoge $a\in G\setminus H$ . Entonces $a\not\sim a$ .
Otra forma de ver esto es que la condición $xx^{-1}y^{-1}\in H$ equivale a $ey^{-1}=y^{-1}\in H$ que a su vez equivale a $y\in H$ desde $H$ es un subgrupo de $G$ . Por lo tanto, basta con dejar que $x\in G\setminus H$ para que $x\not\sim x$ es decir, para que la reflexividad fracase.
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Tome $x \in G$ tal que $x \notin H$ Entonces, has terminado. Así que toma $G= \Bbb Z$ y $H=2\Bbb Z.$ Entonces $1 \not\sim 1.$ Así que la propiedad reflexiva de la relación $\sim$ es violado.
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