Función inversa de $f(x) = \frac{x+5}{x-2}$

Question

Encuentra la inversa de la función

$f(x) = \frac{x+5}{x-2}$

Esto es lo que tengo hasta ahora:

$y = \frac{x+5}{x-2}$

$x = \frac{y+5}{y-2}$

$(x)(y-2) = (y+5)$

pero esto parece ser un callejón sin salida.

¿Cómo debo abordarlo?

Gracias.

Answer 1

Sólo estoy continuando desde donde te detuviste

$(x)(y-2) = (y+5)$

$xy-2x = y+5$

$xy-y=2x+5$

$y(x-1)=2x+5$

$y=\frac{2x+5}{x-1}$

Answer 2

Ya casi está:

$$x = \frac{y+5}{y-2}$$ $$x(y-2) = y+5$$ $$xy - 2x = y+5$$ $$xy - y = 5 + 2x$$ $$y(x-1) = 5+2x$$

Te dejaré terminar.

Answer 3

Una pista: Resta $\displaystyle\frac{x-2}{x-2}$ de la derecha.

Answer 4

Otra aproximación: su función es una función racional que es un cociente de dos funciones lineales. Es automático que la inversa tenga esa misma forma.

Su función tiene una asíntota vertical en $x=2$ y una asíntota horizontal en $y=1$ por lo que la función inversa los intercambia. Así que $f^{-1}(x)=\frac{2x+k}{x-1}$ para algunos $k$ . Su función tiene un $x$ -interceptar en $-5$ por lo que la inversa tiene un $y$ -interceptar en $-5$ , lo que significa que $k=5$ . Así que $$f^{-1}(x)=\frac{2x+5}{x-1}$$