Funciones en serie de potencias sobre la bola abierta unitaria y analiticidad.

Question

Dejemos que $f:B^{m}\to\mathbb{C}$ sea una función multivariante definida por una serie de potencias $f(x)=\sum_{\alpha}c_{\alpha}x^{\alpha},\,\,x\in B^{m}$ , donde $\alpha\in\mathbb{N}^{m+1}$ y $B^{m}=\{x\in\mathbb{R}^{m+1},\,\,||x||<1\}$ . Si $\sum_{\alpha}c_{\alpha}x^{\alpha}<\infty,\,\forall\,\,x\in B^{m}$ es cierto que para cada $p\in B^{m}$ existe $\{d_{\alpha}\}\subset \mathbb{C}$ y un barrio $p\in B^{m}$ tal que

$$f(x)=\sum_{\alpha}d_{\alpha}(x-p)^{\alpha}$$

Answer 1

Esto es cierto. Un enfoque es ampliar la definición de $f$ a la bola unitaria compleja (donde también converge la serie dada), utilizar la fórmula integral multivariante de Cauchy, y expandir su núcleo en una serie de potencias como en el caso de una variable.

Para una prueba puramente de variable real, se puede intentar demostrar que la $k$ derivada de $f$ en $p$ está limitada por $C^{|k|}k!$ para alguna constante $C$ . Pero las estimaciones parecen ser engorrosas en varias variables.