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Entender la diferencia entre Span y Basis

He estado leyendo un poco por MSE y me he encontrado con algunas preguntas similares a las mías. Sin embargo, la mayoría de ellas no tienen una explicación concreta a lo que busco.

Entiendo que la extensión de un espacio vectorial $V$ es la combinación lineal de todos los vectores de $V$ .

También entiendo que la Base de un Espacio Vectorial V es un conjunto de vectores ${v_{1}, v_{2}, ..., v_{n}}$ que es linealmente independiente y cuya extensión es toda la $V$ .

Ahora bien, a mi entender la base es una combinación de vectores que son linealmente independientes, por ejemplo, $(1,0)$ y $(0,1)$ .

¿Pero por qué?

La otra pregunta que tengo es, ¿qué quieren decir con "cuya extensión es toda $V$ " ?

Por último, agradecería mucho una buena definición de Span y Basis junto con un ejemplo concreto de cada una de ellas que me ayude a reforzar mi comprensión.

Gracias.

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Greg Elin Puntos 206

La extensión se suele utilizar para un conjunto de vectores. El span de un conjunto de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores.

Así que el lapso de $\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\}$ sería el conjunto de todas las combinaciones lineales de ellas, que es $\mathbb{R}^2$ . El lapso de $\{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\}$ is also $\mathbb{R}^2$, although we don't need $\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$ para serlo.

Por tanto, se dice que estos dos conjuntos son los conjuntos de extensión de $\mathbb{R}^2$ .

Sin embargo, sólo el primer conjunto $\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\}$ es una base de $\mathbb{R}^2$ porque el $\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}$ hace que el segundo conjunto sea linealmente dependiente.

Además, el conjunto $\{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}\}$ también puede ser una base para $\mathbb{R}^2$ . Porque su extensión también es $\mathbb{R}^2$ y es linealmente independiente.

Para otro ejemplo, la extensión del conjunto $\{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\}$ is the set of all vectors in the form of $\begin{pmatrix}a\\a\end{pmatrix}$ .

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axyz Puntos 822

La base es una combinación de vectores linealmente independientes que abarca todo el vector V.

Supongamos que tomamos un sistema de $R^2$ . Ahora bien, como usted ha dicho, $(1,0)$ y $(0,1)$ son las bases en este sistema y queremos encontrar cualquier $(x,y)$ en este sistema.

$$ (x,y)=x(1,0)+y(0,1) $$ donde $x$ , $y$ pertenecen a un conjunto de números reales.

Usando la combinación lineal de la base , se puede encontrar cualquier vector en el sistema.

Por ejemplo, $$ (98745,12345)=98745(1,0)+12345(0,1) $$

Ahora bien, ¿qué es el span?

Span es el conjunto de todos los vectores de combinación lineal del sistema.

En $R^2$ supongamos que el span es el conjunto de todas las combinaciones de $(1,0)$ y $(0,1)$ .

Este conjunto contendría todos los vectores que se encuentran en $R^2$ por lo que decimos que contiene todo el vector V.

Por lo tanto, La base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores $v_1,v_2,...,v_n$ que es linealmente independiente y cuyo ámbito es todo V.

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Bernard Puntos 34415

La extensión de un subconjunto finito $S$ de un espacio vectorial $V$ es el espacio subvectorial más pequeño que contiene todos los vectores en $S$ . Se demuestra fácilmente que es el conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de $S$ con coeficientes en el campo base (normalmente $\mathbf R,\mathbf C$ o un campo finito).

Una base del espacio vectorial $V$ es un subconjunto de vectores linealmente independientes que abarcan la totalidad de $V$ . Si $S=\{x_1, \dots, x_n\}$ esto significa que para cualquier vector $u\in V$ existe un único sistema de coeficientes tal que $$u=\lambda_1 x_1+\dots+\lambda_n x_n. $$

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