Distribución normal de las sumas

Question

Tengo dos variables aleatorias normalmente distribuidas $X$ y $Y$ . Entonces sé que la suma $X-Y$ también se distribuye normalmente (i).

Sin embargo, quiero demostrar (preferiblemente con un contraejemplo) que lo contrario no es cierto (ii). Si $X-Y$ se distribuye normalmente, esto no significa que $X$ y $Y$ se distribuyen normalmente. \begin{align} X\sim N(\mu_x,\Sigma_x)\text{ and }Y\sim N(\mu_y,\Sigma_y) \underbrace{\overbrace{\stackrel{\Rightarrow}{\nLeftarrow}}^{(i)}}_{(ii)}Z=X-Y\sim N(\mu_z,\Sigma_z) \end{align}

Answer 1

Dejemos que $W$ (por ejemplo) sea una variable aleatoria que tome valores $0$ y $1$ , cada una de ellas con una probabilidad $\frac{1}{2}$ dejar $Z$ sea normal, y supongamos que $W$ y $Z$ son independientes. Sea $X=W+Z$ y que $Y=W$ . Entonces $X-Y$ se distribuye normalmente, pero tampoco $X$ ni $Y$ es normal.

Observación: Tenga en cuenta que si $X$ y $Y$ son normales y no independientes, entonces $X-Y$ no tiene por qué ser normal. Por ejemplo, dejemos que $X$ sea la normal estándar, y que $Y=RX$ , donde $R$ y $X$ son independientes, y $R$ asume los valores $-1$ y $1$ cada uno con probabilidad $1/2$ . Entonces $X-Y$ no es normal.

Answer 2

Toma un poco de $Z$ siguiendo una distribución normal, y $X$ cualquier otro. A continuación, establezca $Y=X-Z$ .

$X-Y$ sigue una distribución normal, mientras que $X$ no lo hace.