Buena pregunta. Permítanme en primer lugar señalar que la Hipótesis de Riemann y $\mathsf{P}$-vs-$\mathsf{NP}$ es más sencilla de lo $\Pi^1_2$: El primero es $\Pi^0_1$, ver este MO pregunta, y la afirmación de que $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\Pi^0_2$ declaración ("por cada código para una máquina de tal y tal tipo es un código para una máquina de otro tipo que ..."). La diferencia en el superíndice es que estos son aritméticos de las declaraciones, por lo que no necesitamos para cuantificar el exceso de reales.
Creo que las versiones de su pregunta han preguntado por aquí y por MO, así que usted puede encontrar comentarios adicionales si usted busca un poco. En particular, me permito indicar a usted a esta pregunta, y mi respuesta allí. Brevemente:
Un enfoque natural para mostrar que un enunciado es independiente de $\mathsf{ZFC}$ es para demostrar que se mantiene en un interior pequeño modelo, tales como $L$, mientras que su negación de la siguiente manera apropiada gran cardenal hipótesis. Por ejemplo, proyectiva determinación y muchas de sus consecuencias son declaraciones de este tipo. De hecho, más y más niveles de la proyectiva de la jerarquía están obligando a los invariantes a medida que ascendemos a través de la consistencia de la fuerza de la jerarquía. (Para un poco más sobre esto, vea este MO pregunta.) Hay mucho más que se puede decir sobre el papel de los grandes cardenales, el interior del modelo, la hipótesis de la ultimate $L$ programa, etc, pero no creo que estos son ejemplos de la evolución de su pregunta es acerca de, y esto todavía no la dirección de las declaraciones que se $\Pi^1_2$ o de menor complejidad.
Sería un gran avance (más grande incluso que el desarrollo de forzar a) si entendemos que es una técnica que los cambios (en verdad) el modelo estándar de la aritmética.
Si es posible, creo que no estamos en cualquier lugar cerca de lograr que.
Corto plazo, el trabajo para establecer la consistencia de la independencia de la aritmética o de bajo nivel proyectivo declaraciones se centra en la producción de no-estándar de los modelos, de hecho, los modelos que no $\omega$-modelos (es decir, los modelos cuya versión de $\omega$ no es estándar).
Harvey Friedman ha sido todo un éxito aquí, y él ha producido un cuerpo de ejemplos de combinatoria finita que son independientes de $\mathsf{ZFC}$. El origen de esta idea proviene de la París-Harrington teorema que muestra la independencia de un fortalecimiento de Ramsey del teorema de $\mathsf{PA}$ mediante el método de los indicadores.
La mayor parte de su enfoque se explica en su monografía sobre el Booleano Relación Teoría, disponible desde su página. Sus resultados tienden a implicar grandes cardenales así. La idea es que el uso de los grandes cardenales para demostrar la combinatoria declaración bajo consideración. Para aritmética de las declaraciones de $\phi$, esto quiere decir que el resultado es cierto en $\omega$. Luego producimos apropiado no$\omega$-modelos de $\mathsf{ZFC}$ donde un error en la instrucción. La construcción aquí es delicado, y no tan maleable como el uso de forzamiento. Pero su monografía y muchos de sus artículos muestran un montón de aplicaciones.
Usted ver por qué este enfoque es un poco insatisfactorio, ya que sabemos que la declaración de ($\phi$ o $\lnot\phi$) es verdadera, independientemente de si $\mathsf{ZFC}$ es lo suficientemente fuerte como para establecerlo. (Esta es la razón por la que iba a ser tan importante que "forzar" las herramientas que afectan el modelo estándar de la aritmética.) Por otro lado, los grandes cardenales normalmente involucrados en muchos de sus ejemplos son "pequeños" (en el barrio de Mahlo cardenales), por lo que bien podemos pensar en su enfoque de la producción de ejemplos de declaraciones independiente de $V=L$, lo que en sí mismo es notable.
Todavía estamos lejos de lo que sería ideal. Hay una cita de la Booleano Relación con el libro de la Teoría que he incluido en uno de los enlaces de arriba, pero permítanme repetirlo aquí:
No había candidatos para el Hormigón Matemática de la Incompletitud de ZFC que se ofrecen. De hecho, a día de hoy, no hay candidatos para el Hormigón Matemática de la Incompletitud han surgido desde el curso natural de las matemáticas.
Para remachar el clavo: no veo ninguna manera de adaptar las técnicas conocidas para establecer la independencia de los "naturales" problemas tales como la hipótesis de Riemann, $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$, o muchos de sus más humildes familiares. Incluso olvidando $\mathsf{ZFC}$ y hacerlo en el contexto de $\mathsf{PA}$ parece fuera de su alcance, aunque hay una gran cantidad de literatura sobre los modelos de $\mathsf{PA}$ e (aritmética) combinatoria declaraciones independiente de $\mathsf{PA}$, con un montón de técnicas no disponibles para la teoría de conjuntos.
