Densidad de un vector aleatorio

Question

Dejemos que $X,Y \sim U[0,1]$ sean dos independientes distribuidos uniformemente en $[0,1]$ variables aleatorias. Sea $Z := \max(X,Y)$ . Me interesa la función de densidad de probabilidad del vector $(X,Z)^T$ . La FCD de $(X,Z)^T$ es \begin{align*} F_{X,Z}(x,z) &= \mathbb{P}(X \leq x, \max(X,Y) \leq z) = \mathbb{P}(X \leq x, X \leq z, Y \leq z) = \\ &= xz I\{0 \leq x \leq z \leq 1\} + z^2 I\{0 \leq z \leq 1, z \leq x\} + x I\{0\leq x \leq 1, 1 < z\} + I\{1 \leq x, 1 \leq z\} \end{align*}

Ahora $p_{X,Z}(x,z) = \frac{\partial^2 F_{X,Z}(x,z)}{\partial x \partial z} = I\{0 \leq x \leq z \leq 1\}$ . Pero $\int_{\mathbb{R}^2}I\{0 \leq x \leq z \leq 1\} dxdz = \frac{1}{2} \neq 1$

El planteamiento del problema es muy sencillo, pero no entiendo dónde está el error.

Gracias de antemano.

Answer 1

Pista: Tienes la variable aleatoria $Z:=\max(X,Y)=\begin{cases}X&X>Y\\Y&X\le Y \end{cases}$ Así que, en general $$F_Z(z):=P(Z\le z)=P(\max (X,Y)\le z)=P[(X\le z, X>Y)\cup(Y\le z,X\le Y)]$$ desde $\{X\le Y\}$ y $\{X >Y\}$ son mutuamente excluyentes $$P[(X\le z, X>Y)\cup(Y\le z,X\le Y)]=P(X\le z,X>Y)+P(Y\le z,X\le Y)\implies\\F_Z(z)=P(X\le z, Y\le z)=F_{XY}(z,z)\text{ but for independence}\\F_Z(z)=F_X(x)F_Y(y)$$ observando que $$\Big(\{X\le z\}\cap\{X>Y\}\Big)\cup\Big(\{Y\le z\}\cap\{X\le Y\}\Big)=\{X\le z\}\cap\{Y\le z\}.$$ Se puede encontrar la función de densidad mediante $f_Z(z)=\dfrac{d}{dz}P(Z\le z)$ .