Problema : Dejemos que $f,g: [0, + \infty[ \to \mathbb{R}$ sean dos funciones convexas de clase $C^2$ . Supongamos que $$ f(0) \geq 0, g(0) \geq 0 \text{ and } f'(0) \geq 0, g'(0) \geq 0 \tag{!}$$ Demuestra que $fg$ es convexo
Mi enfoque : No entiendo muy bien qué hacer con la información dada etiquetada como (!). Sin embargo, sé lo siguiente:
Me concentro en $f$ lo mismo se aplicará para $g$ . Desde $f$ es una función convexa de la clase $C^2$ y tenemos $f'(0) \geq 0$ debe existir algún positivo $\delta_1>0$ para lo cual tenemos $$f': [0, \delta_1] \to \mathbb{R} \text{ is increasing } \implies f'' \geq 0, \ \forall x \in [0, \delta_1] $$
Análogo para $g$ con algunos diferentes $\delta_2 >0$ . Definir $\delta =\min(\delta_1,\delta_2)$ de manera que ambos $f$ y $g$ están en el Intervall $I=[0,\delta]$ significado simultáneamente convexo: $$f'' \geq 0 \text{ and } g''>0, \forall x \in [0,\delta] $$
Lo anterior fue simplemente un trabajo previo que hice para entender mejor el problema, no estoy seguro de que sea necesariamente.
Para la 2ª parte defino $h: I=[0, \delta] \to \mathbb{R}, \ h \mapsto fg \in C^2$ porque es una composición de $C^2$ funciones. Ahora diferencio $h$ dos veces: $$h'=f'g+g'f \implies h''=f''g+g'f'+g''f+f'g' \\ \implies h''=f''g+2f'g'+g''f \geq 0, \forall x \in I $$
Lo que demostraría que $h$ es convexo. A mí me parece correcto pero me gustaría escuchar algunas opiniones si mi planteamiento fue correcto o si tengo algún error de pensamiento en algunos puntos. Por favor, comenten/respondan para resaltar mis errores o sugerir improvisaciones.
