¿Cuándo se divide la secuencia del haz conormal?

Question

Dejemos que $X\subset \mathbb{P}^n$ sea una variedad proyectiva lisa con una gavilla ideal $I_X$ . La secuencia conormal viene dada por

$$ 0\to I_X/I_X^2\to \Omega_{\mathbb{P}^n}|_X\to \Omega_{X}\to 0. $$ Para qué variedades $X$ ¿se divide la secuencia anterior?

Si no me equivoco, si $X$ una hipersuperficie, la secuencia se divide si y sólo si $X$ tiene grado 1.

Answer 1

Tienes razón. Este es un resultado debido a Van de Ven.

[A. Van de Ven, Una propiedad de las variedades algebraicas en espacios proyectivos complejos. En: Colloque Géom. Diff. Globale (Bruxelles, 1958), 151-152, Centre Belge Rech. Math., Louvain 1959. MR0116361 (22 #7149) Zbl 0092.14004]

Incluso más es cierto. Recientemente Ionescu y Repetto demostró la siguiente generalización del Teorema de Van de Ven.

Dejemos que $X \subset \mathbb P^n$ sea una subvariedad suave. Si existe una curva $C \subset X$ tal que la restricción a $C$ de la secuencia conormal de $X$ divisiones entonces $X$ es lineal.

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Permítanme esbozar una breve demostración elemental (del resultado de Van de Ven, no de su generalización) en el caso de las hipersuperficies. La formularé en la categoría analítica, pero una vez trasladada a la categoría algebraica, trabajando con vecindades infinitesimales, creo que lo que surgirá es una de las pruebas de la literatura.

Si la secuencia normal se divide entonces podemos definir una foliación $\mathcal L$ por (gérmenes de) líneas en todas partes transversales a $X$ en un barrio $U$ de $X$ . Dado que el complemento de $X$ es Stein podemos ampliar $\mathcal L$ a todo el $\mathbb P^n$ . Por lo tanto, $\mathcal L$ está definida por una sección global de $T \mathbb P^n(d-1)$ para algunos $d \ge 0$ . Con la ayuda de la secuencia de Euler, esta sección puede presentarse como un campo vectorial homogéneo $v$ en $\mathbb C^{n+1}$ con coeficientes de grado $d$ . Para calcular las tangencias entre $\mathcal L$ y $X$ sólo tenemos que contratar el diferencial $dF$ de una ecuación definitoria $F$ de $X$ con $v$ . Si $F$ no es lineal entonces el divisor en $X$ definido por las tangencias entre $\mathcal L$ y $X$ (definido por $F=dF(v)=0$ ) será no vacía contradiciendo la transversalidad entre $X$ y $\mathcal L$ .

Answer 2

He aquí una respuesta parcial, que confirma su última frase al menos.

Lema: Si $X\subset \mathbb{P}^n$ es suave y la secuencia conormal se divide, entonces $X$ es un espacio proyectivo.

Prueba de ello: Esto implica que el haz tangente $T_{\mathbb P^n}|_X$ se proyecta sobre $T_X$ . Por lo tanto, $T_X$ es amplia. Ahora apliquemos la solución de Mori a la conjetura de Hartshorne.