Supongamos que $V$ es un espacio de Banach y dejemos que $j_0\in V\to V^{**}$, $j_1\in V^*\to V^{***}$ sean las isometrías canónicas en el doble dual. Si $V$ es reflexivo, entonces $j_0$ es una suryección; además se puede calcular $j_1=(j_0^{-1})^*$ desenredando las definiciones.
Pero ¿qué pasa si $V$ no es reflexivo? ¿Cuándo existe un mapa $T\in V^{**}\to V$ tal que $j_1=T^*$? Dado que $j_1$ siempre es inyectiva, $T$ debe ser una suryección.
Un $T$ existe si y solo si $\text{im}(j_0)$ es complementado en $V^{**}$.
Si la imagen de $j_0$ es complementada (como, por ejemplo, en el espacio de James), entonces $T$ puede ser la proyección de $V^{**}$ en $\text{im}{(j_0)}$.
Recíprocamente, si $T$ existe, entonces $j_0T$ debe proyectar $V^{**}\to\text{im}{(j_0)}$. Pero entonces $V^{**}=\ker{(T)}\oplus\text{im}{(j_0)}$.
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