¿La relación $\exp(\log T)=T(\|T-I\|<1)$ ¿se mantiene en un espacio de Banach?

Question

En el análisis real de una variable, tenemos , $e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ pour $x\in \mathbb{R}$ y $\log(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}(|x|<1).$

En el caso del espacio de Banach $E$ y para un operador lineal acotado $T$ podemos definir de forma similar, $\log(I+T)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}T^n}{n}(||T||<1)$ y $\exp(T)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{T^n}{n!}.$

Ahora mi pregunta es que, ¿la relación $\exp(\log T)=T(||T-I||<1)$ ¿se mantiene en este caso?

Sé que es verdad, cuando $T\in M_n(\mathbb{C})$ pero mi pregunta es para cualquier espacio de Banach $E$

Answer 1

Esto puede hacerse de inmediato utilizando el Cálculo Funcional Holomórfico. En un disco de radio inferior a $1$ centrado en $0$ Su función $z\longmapsto \log(1+z)$ es analítica. En $1+z=\exp(\log(1+z))$ en dicho disco, utilizando que el cálculo funcional es un homomorfismo obtenemos $$I+T=\exp(\log(I+T)),\qquad \|T\|<1.$$