Marco explicativo: El espacio-tiempo foliado
En la relatividad general, que se utiliza para describir el universo en escalas de longitud cosmológicas, las distancias espaciales y temporales ya no son cantidades absolutas. Además, en astronomía, existen varios métodos para determinar una distancia, que podrían discrepar en las escalas de longitud cosmológicas.
Por ello, es conveniente visualizar inicialmente el problema en un marco que facilite la comprensión de las magnitudes implicadas y de la cuestión concreta.
En el Formalismo 3+1 de la Relatividad General, el espaciotiempo se describe como una foliación de hipersuperficies espaciales, es decir, tridimensionales, a lo largo del eje del tiempo. En la figura, cada rebanada $\Sigma_t$ representa el espacio tridimensional en un momento dado $t$ .
![Foliation of Spacetime. Light is emitted from a distant object at time $t_e$ and reaches Earth at time $t_0$.]()
Mirando al pasado
Como la luz es localmente siempre viajando a la velocidad de la luz, $\mathrm{c}$ en grandes escalas de longitud, es importante que la luz que llega al observador en la Tierra en un momento $t_0$ ("hoy") ha sido emitido en su origen en un momento $t_e:<t_0$ es decir, antes de $t_0$ .
Expansión del universo
Experimentalmente, midiendo la velocidad de los objetos lejanos con respecto a nosotros y midiendo su distancia, se comprueba que los objetos más lejanos se alejan de nosotros con mayor velocidad. Esto se llama Ley de Hubble .
$$ v=H_0 \cdot D \tag{Hubble’s Law} $$
$\displaystyle v:\equiv\frac{dD}{dt}$ es la velocidad del objeto respecto a nosotros. $D$ es el distancia adecuada al objeto, que es la distancia dentro de un corte espacial en un momento dado (como se ve en la figura). Y $H_0$ por razones históricas, se llama Constante de Hubble . Pero, en realidad, $H(t)$ es una función del tiempo:
Parametrizar una expansión del universo, donde la distancia propia $D(t)$ entre dos objetos es una distancia fija en el tiempo, el distancia comoving , $x$ multiplicado por el factor de escala dependiente del tiempo $R(t)$ (es decir, todas las distancias crecen a medida que el universo se expande con un factor de escala creciente $R(t)$ ),
$$ D(t) = x \cdot R(t) , $$
se encuentra que el parámetro de Hubble $H(t)$ es en realidad la tasa de expansión relativa en el momento $t$ :
$$ v(t) \equiv \frac{dD(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left( x \cdot R(t) \right) = x \cdot \frac{dR(t)}{dt} = \frac{D(t)}{R(t)} \cdot \frac{dR(t)}{dt} \equiv \frac{\dot R(t)}{R(t)} \cdot D(t) \equiv H(t) \cdot D(t) $$
Escribir juntos la expresión de la izquierda y la de la derecha, $v(t) = H(t) \cdot D(t)$ se ve, que la Ley de Hubble, $v = H_0 \cdot D$ describe un caso especial, a saber, la situación "actual": $v(t_0) = H(t_0) \cdot D(t_0)$ , donde $H(t_0)\equiv H_0 = \dot R(t_0) / R(t_0)$ .
Velocidad superlumínica
¿Significa esto que el Universo se expande más rápido que la velocidad de la luz?
En cierto modo, eso es correcto. La distancia adecuada $D$ entre un objeto lejano y nosotros puede crecer más rápido que la velocidad de la luz. Pero, eso no se debe a que los objetos se muevan localmente más rápido que la velocidad de la luz.
$$ \frac{dD}{dt} = \frac{dx\,R}{dt} + \frac{x\,dR}{dt} $$
En la fórmula anterior, el término $\displaystyle \frac{dx\,R}{dt}$ puede interpretarse como el velocidad local o velocidad peculiar El término $\displaystyle \frac{x\,dR}{dt}$ como la parte de la velocidad aparente que es causada por la expansión del espacio.
En este formalismo, la afirmación de que nada puede moverse más rápido que la velocidad de la luz, significaría que nada puede localmente se mueven más rápido que la velocidad de la luz:
$$ v_\text{local} := \frac{dx\,R}{dt} \leq \mathrm{c} $$
Pero nada impide que el universo se expanda más rápidamente que la velocidad de la luz, es decir, impide el factor de escala $R(t)$ de crecer.
Por lo tanto, dado que $v_\text{local}$ tiene que ser menor que la velocidad de la luz, la "velocidad" $\displaystyle \frac{dD(t)}{dt}$ observado en la Tierra, que corresponde a la distancia propia, $D(t):=x\cdot R(t)$ puede ser mayor que la velocidad de la luz.
No es del todo exacto, pero para demostrarlo, se puede visualizar un globo con monedas pegadas a su superficie. Al inflar el globo, la distancia adecuada entre las monedas crece, pero localmente el tamaño de las monedas sigue siendo el mismo.
Edad del universo
En cosmología, se puede parametrizar el parámetro de Hubble $H(t)$ por parámetros cosmológicos que puede ser medido, experimentalmente, por varios métodos. Por lo tanto, se sabe $H$ en función del factor de escala $R(t)$ y esos parámetros cosmológicos.
$$ H=H(t)=H(R(t), \text{several cosmological parameters}) $$
Discutiendo la ley de Hubble anteriormente, hemos visto que $\displaystyle H(t)=\dot R(t)/R(t) = \frac{dR(t)}{dt}/R(t)$ . Resuelto por $dt$ , que dice $\displaystyle dt=dR \cdot \frac{1}{HR}$ .
Integrando sobre cada intervalo de tiempo infinitesimal $dt$ desde el big bang ( $t=0$ ) hasta hoy ( $t=t_0$ ) da la edad del universo $t_0$ :
$$ t_0 = \int_0^{t_0} dt = \int_0^{R(t_0)} dR\,\frac{1}{R\,H(R, \text{cosm. param.})} \approx 13.7\,\text{Gyr} $$
Tamaño del universo observable
Sólo podemos observar el universo mirando las partículas, por ejemplo, los fotones, es decir, la luz, que nos llega. Como localmente nada puede viajar más rápido que la velocidad de la luz, el distancia que la luz podría haber viajado dentro de la edad del universo , $t_0$ determina el tamaño del universo observable .
La distancia al horizonte de partículas , $r_p$ es la distancia a la que se encuentra un objeto que ha emitido partículas (luz), que nos llegan hoy, y que fueron emitidas a $t=0$ es decir, hace una edad del universo.
¿Qué tipo de distancia? La distancia adecuada, $D:=R\,x$ o distancia comoving, $x$ ?
Lo razonable sería preguntar por el tamaño del universo tal y como es hoy, es decir, preguntar por la distancia adecuada, como se muestra en la figura.
Pero, lo más habitual es que el factor de escala $R(t)$ se define de forma que $R(t_0)=1$ . Por lo tanto, si pedimos el horizonte de partículas de hoy, $r_p$ ( $t=t_0$ ), no hay ninguna diferencia.
$$ r_p := D_p(t_0) = x_p \, R(t_0), \ \ \ R(t_0)=1 $$
Cómo calcular el tamaño adecuado del universo
He encontrado en un sitio web que es 46B LY a través de cada dirección
Esta cantidad se refiere a la distancia al horizonte de partículas, $r_p$ es decir, al radio del universo observable. El diámetro sería el doble.
$$ \text{proper radius of the observable universe} = r_p \approx 46\,Gly $$
Esto se puede calcular de forma similar al cálculo de la edad del universo, como se ha indicado anteriormente.
$$ r_p = D_p(t_0) = R(t_0)\cdot x_p = R(t_0)\int_0^{x_p} dx $$
Hemos visto que $\displaystyle v_\text{local} := \frac{dx\,R}{dt} \leq \mathrm{c}$ . Por la luz, lo sabemos, $v_\text{local}=\mathrm{c}$ . Por lo tanto, para la luz, $\displaystyle dx = \frac{\mathrm{c}\,dt}{R}$ .
$$ r_p = R(t_0)\int_0^{x_p} dx = R(t_0)\int_0^{t_0} \frac{\mathrm{c}\,dt}{R(t)} = R(t_0)\int_0^{R(t_0)} dR \frac{\mathrm{c}}{R} \frac{1}{R\,H(R, \text{cosm. param.})} \approx 46\,Gly $$
Tamaño del resto del universo
Dado que el horizonte de partículas representa el límite desde el que nos puede llegar cualquier información, en principio no podemos saber qué hay detrás de ese horizonte. Por tanto, no se puede saber el tamaño real del resto del universo. Ni siquiera se puede saber con seguridad si existe el resto del universo, pero es una suposición conveniente.
Pero los modelos del Expansión inflacionaria del universo de una edad temprana sugieren que el universo real es considerablemente mayor que el universo observable.
Estos modelos son sólidos para explicar formación de la estructura del universo, es decir, cómo y en qué escalas de longitud pudieron formarse cúmulos de galaxias, etc., a pesar de que el universo es homogéneo en escalas mayores. También resuelven la cuestión cosmológica problema de ajuste o problema de planicidad :
El universo parece plano hasta donde podemos ver (es decir, no es geométricamente curvo, es decir, la suma de los ángulos de un triángulo es de 180 grados) a grandes escalas observables, a pesar de que sería más probable que el universo fuera curvo.
Los modelos de inflación resuelven este problema sugiriendo que el universo real podría realmente ser curvado si fuera lo suficientemente grande: Entonces, la parte observable del universo sería lo suficientemente pequeña como para parecer plana. Al igual que se puede describir la superficie de la Tierra como si fuera localmente plana aunque la Tierra sea una esfera.
Pero a partir de esta analogía se puede ver que, si estos modelos inflacionarios son correctos, el resto del universo tiene que ser significativamente mayor que el universo observable.
Más información
- Schneider, Introducción a la astronomía y cosmología extragalácticas , Springer, cap. 4.
- d'Inverno, Introducción a la relatividad de Einstein , cap. 23.
- Hobson et al., Relatividad general, una introducción para los físicos , Cambridge University Press, cap. 14. En particular, el capítulo 14.11 para las diferentes medidas de distancia cosmológica.
- Artículo de Wikipedia sobre las medidas de distancia en cosmología: Medidas de distancia (Cosmología)
- Artículo de Wikipedia sobre el tamaño del universo observable, incluyendo los conceptos erróneos más comunes: Universo observable , sección Tamaño .
