¿(Co)homología equivariante de las variedades bandera, álgebra de convolución y álgebra de Hecke nula?

Question

Para un grupo reductor complejo $G$ y su subgrupo de Borel $B$ parece ser bien conocido que el grupo de homología equivariante $H^G_*(G/B\times G/B)$ forma un álgebra de nil-Heck $$NH=\Bbbk[y_i,\partial_{j}]_{{1\leq i\leq n}\atop{1\leq j\leq n-1}}\big/\left<\begin{array}{c} \partial_i\partial_{i+1}\partial_i=\partial_{i+1}\partial_{i}\partial_{i+1}\\ \partial_{i}\partial_j=\partial_j\partial_i, |i-j|\geq 2\\ \partial_i^2=0\end{array},\quad \begin{array}{c}y_j\partial_j=\partial_j y_{j+1}\\ y_{j+1}\partial_j=\partial_j y_{j}\\ y_j\partial_i=\partial_iy_j, |i-j|\geq 2 \end{array}\right>$$ bajo la convolución con las células de Schubert $X_w$ correspondiente al símbolo $\partial_w$ . Además, su acción sobre el grupo de cohomología equivariante $H_G^*(G/B)=H_T(pt)=\Bbbk[x_1,\ldots,x_n]$ es el operador Demazure.

Pero no encontré ninguna referencia para este hecho ni siquiera para la definición de convolución. Sólo vi la versión de la homología habitual (homología de Borel--Moore) y la versión de la teoría K en Teoría de la representación y geometría compleja por Neil ChrissVictor Ginzburg. Además, se refieren sin pruebas. Tal vez se puede definir por la teoría de gavillas, pero entonces ¿cómo calcular con las células de Schubert? Desde $H_G(G/B\times G/B)=H_T(G/T)$ Tiene células de Schubert.

En el caso de la cohomología, podemos definir la convolución de forma adecuada para que sea $$H^*_G(B\times A)\times H^*_G(C\times B)\stackrel{p_1^*\otimes p_3^*}\longrightarrow H_G^*(C\times B\times A)\otimes H_G^*(C\times B\times A)\stackrel{\smile}\longrightarrow H_G^*(C\times B\times A)\stackrel{(p_2)_*}\longrightarrow H_G^*(C\times A)$$ El último mapa es el impulso de Gysin cuando $B$ es suave y compacta. El problema de la homología es que no hay producto de intersección para $EG\times_G C\times B\times A$ ya que es de dimensión infinita. Además cuando calculo la convolución sobre la cohomología equivariante, no da el isomorfismo propio $H_G^*(G/B\times G/B)\to NH$ .

Mi pregunta es, ¿hay alguna referencia para el hecho de que $H^G_*(G/B\times G/B)\cong NH$ bajo convolución y referencias para la definición del álgebra de convolución en la homología equivariante? Además me pregunto si existe un isomorfismo de la cohomología a $NH$ ?

Answer 1

Hace poco hice más cálculos y obtuve lo que deseaba.

En primer lugar, para ser exactos, debería ser el grupo de cohomología en lugar del grupo de homología, y la presentación en la pregunta está mal, debería ser $$\Bbbk\left<X_i,\partial_j\right>_{{1\leq i\leq n}\atop{1\leq j\leq n-1}}\bigg/ \left<\begin{array}{c} \partial_i\partial_{i-1}\partial_i=\partial_{i-1}\partial_i\partial_{i-1},\\ |i-j|\geq 2, \quad \partial_i\partial_j=\partial_j\partial_i,\\ \partial_i^2=0. \end{array}\begin{array}{c} X_iX_j=X_jX_i,\\ \partial_iX_j-X_{s_i(j)}\partial_i\\ =\delta_{i,j}-\delta_{i+1,j}. \end{array}\right>$$ La definición de Kumar (Kac-Moody Groups, their Flag Variety and Representation Theory) del anillo de Nil-Hecke y la definición de la convolución en homología me engañaron.

• Para demostrar esto, primero se puede hacer en el caso no quivairante, el $G$ -orbitas de $G/B\times G/B$ se corresponden uno a uno con $B$ -órbita de $G/B$ , es decir, las células de Schubert.
• La dualidad de Poincar'e de cada uno, digamos $\partial_w$ con respecto a la célula de Schuber $BwB/B$ actúa sobre $H^*(G/B)$ por el operador Demazure $\partial_w$ . Para comprobarlo, basta con hacer el producto de intersección, en el que todos se cruzan transversalmente.
• Le site $X_i=X_i\partial_e$ , donde $H^*(G/B)$ actúa sobre $H^*(G/B\times G/B)$ por la primera proyección actúa sobre $H^*(G/B)$ por multiplicación por la izquierda $X_i$ .
• Ahora la relación es fácil de comprobar, por un argumento topológico estándar, es un isomorfismo (por ejemplo, Harish-Leray). En realidad, $H^*(G/B\times G/B)$ es en realidad la subálgebra generada por las mutiplicaciones a la izquierda y los operadores Demazure en $\operatorname{End}_{\Bbbk}(H^*(G/B))$ .
• Para tratar el caso equivariante, primero lo hacemos en $T$ -equivariante, es inofensivo ya que $H_G^*(X)\to H_T^*(X)$ es siempre inyectiva ( $\operatorname{char} \Bbbk=0$ ).
• Ya no existe la dualidad de Poincar, pero el emparejamiento de celdas también da una clase de cohomología bien definida. El cálculo del resultado del emparejamiento de celdas en el caso no equivariante puede trasladarse directamente al caso equivariante. En consecuencia, también actúa como operador de Demazure.
• El resto es completamente igual al caso no quivariante. En realidad, $H_G^*(G/B\times G/B)$ es en realidad la subálgebra generada por las mutiplicaciones a la izquierda y los operadores Demazure en $\operatorname{End}_{H_G^*(pt)}(H^*(G/B))$ . Las acciones son todas $H_G^*(pt)$ por la asociatividad de la convolución $$H_G^*(G/B\times G/B)\stackrel{\displaystyle\curvearrowright}{\phantom{\square}} H_G^*(G/B\times pt)\stackrel{\displaystyle\curvearrowleft}{\phantom{\square}} H_G^*(pt\times pt). $$