Automorfismos inducir automorphisms de grupos cociente

Question

Deje de $G$ ser un grupo, con $N$ característico de $G$. Como $N$ es característica, cada automorphism de $G$ induce un automorphism de $G/N$. Por lo tanto, $\operatorname{Aut}(G)\rightarrow \operatorname{Aut}(G/N)$. Por lo que estaba preguntando,

Bajo qué condiciones es la inducida por la homomorphism $\operatorname{Aut}(G)\rightarrow \operatorname{Aut}(G/N)$

• un monomorphism?

• un epimorphism?

• un isomorfismo?

Creo que se debe trabajar para (semi-?)productos directos $N\times H$ donde $\operatorname{Aut}(N)$ es trivial y $N\no\cong H$ (por ejemplo, $C_2\times C_3$, $N=C_2$). Pero no puedo demostrar incluso que!

Answer 1

Para el producto directo parece fácil.

Deje que $G=N\times K$ y se supone que ambas $N$ y $K$ es característico en $G$. Es fácil mostrar $Aut(G) \cong Aut(N)\times Aut(K)$ ya $N$ y $K$ es característico en G. Desde $G/N \cong K$ entonces $Aut(G/N) \cong Aut(K)$. Por lo tanto es natural epimorphism $\phi:Aut(G) \a Aut(G/N)$ con $ker(\phi) \cong Aut(K)$.

Ahora usted puede pedir cuando son características ambas en $G$? En realidad, una simple condición: Permitir $N$ y $K$ es finito grupos con relativamente primos de las órdenes y $G=N\times K$. A continuación, ambos $N$ y $K$ es característico en $G$.

Y que ofrecen un ejemplo de $G=C_2\times C_3$ y $N=C_2$ entonces $K=C_3$ desde el fin de N y K son relativamente primos, el resultado es inmediato desde arriba de la construcción.