Medida de Lebesgue de la imagen de un intervalo

Question

Dado que $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función arbitraria, estoy buscando lo que se puede decir sobre el tamaño de un intervalo $I$ en $f$ .

Si definimos $D := \{x \in \mathbb{R} : f \text{ is differentiable at } x\}$ y tomar un punto $d \in D$ Entonces, como $|f'(d)|$ actúa como un factor de escala local de $f$ alrededor de $d$ Parece razonable esperar eso:

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\mu^*(f[I_{d,h}])}{2h} = |f'(d)|$$

où $\mu^*$ denota la medida exterior de Lebesgue, $I_{d,h} := (d-h,d+h)$ y si $A$ es un conjunto, entonces $f[A]$ denota la imagen de $A$ en $f$ .

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Por desgracia (como siempre) las matemáticas no son tan sencillas. Sin demasiado esfuerzo, se deduce jugando con la definición de la derivada que:

$$\limsup_{h \rightarrow 0} \frac{\mu^*(f[I_{d,h}])}{2h} \leq |f'(d)|$$

y por lo tanto obtenemos la igualdad deseada arriba si $f'(d) = 0$ .

Pero el resultado más general puede fallar en contraejemplos aparentemente patológicos. Por ejemplo, es posible construir una función medible $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Q} \cup C$ (donde $C$ es el conjunto de Cantor) que es diferenciable en todo $C$ y $f'(x) = 1$ para todos $x \in C$ .

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Sin embargo, este es un ejemplo bastante patológico, e incluso así sólo falla en un conjunto nulo. Así que mi conjetura es la siguiente:

Dado que $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es una función arbitraria, y $D := \{x \in \mathbb{R} : f \text{ is differentiable at } x\}$ . Entonces:

$$\lim_{h \rightarrow 0} \frac{\mu^*(f[I_{d,h}])}{2h} = |f'(d)|$$ para casi todos los $d \in D$ .

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Hasta ahora

Si $f$ es una función localmente de Darboux alrededor de $d$ (en otras palabras: satisface el teorema del valor intermedio en intervalos suficientemente pequeños alrededor de $d$ ), entonces $f[I_{d,h}]$ es un intervalo para un tamaño suficientemente pequeño $h$ y se puede demostrar que la igualdad se mantiene en $d$ .

Por lo tanto, la conjetura es es cierto para las funciones de Darboux (y las funciones que son localmente Darboux alrededor de casi todos los puntos de $D$ ).

¿Pero qué pasa con el caso más general?

Answer 1

Si $O, \Omega$ están abiertas en $\mathbb{R}^n$ y $F \colon O \to \Omega$ es un homeomorfismo diferenciable en $x_0 \in O$ entonces $$\lim_{\varepsilon \to 0}\frac{m(F(B(x_0, \varepsilon)))}{m(B(x_0, \varepsilon))} = |\det(DF(x_0))|.$$ La prueba se puede encontrar en "Measure Theory and Integration" de Michael Taylor en la página 91. La prueba de que $\limsup_{\varepsilon \to 0}\frac{m(F(B(x_0, \varepsilon)))}{m(B(x_0, \varepsilon))} \leq |\det(DF(x_0))|$ es relativamente sencillo. La prueba para el $\liminf$ utiliza la teoría del grado.