Sistema lineal con probabilidades (álgebra)

Question

Tengo un pequeño problema que retrasa mi proyecto, parece que estoy atascado aquí un montón de tiempo. Probablemente es muy fácil pero no puedo verlo ahora, estoy muy ansioso por esto, por favor, echa un vistazo: \begin{align*} P_0 &= \frac45P_1 + \frac34P_1\\ P_1 &= \frac15P_0 + \frac14P_1 \end{align*} también sé esto: $P_1+P_0=1$

La solución es $P_0= 15/19$ y $P_1= 4/19$ .

¡¡¡Tengo un problema muy similar y no sé cómo continuar a partir de este punto y retrasar mi proyecto!!! ¿Cómo puedo solucionar esto? Para más probabilidades como $P_1, P_2, P_3$ ¿Qué podemos hacer? ¿Hay algún algoritmo general para esto con pasos?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Así que hagamos esto:

Tenemos $P_1=1-P_0$ como se menciona en mi comentario. Entonces, si se introduce esto en la primera ecuación, se obtiene

$$P_0=\frac{4}{5}P_0+\frac{3}{4}(1-P_0)$$

lo que equivale a $$P_0-\frac{4}{5}P_0+\frac{3}{4}P_0=\frac{3}{4}$$

Escribe el lado izquierdo como

$$P_0(1-\frac{4}{5}+\frac{3}{4})=\frac{3}{4}$$ ahora, $1-\frac{4}{5}+\frac{3}{4}=\frac{20-16+15}{20}=\frac{19}{20}$ , por lo que tenemos $$P_0\frac{19}{20}=\frac{3}{4}$$ por lo tanto terminamos con $$P_0=\frac{20\cdot 3}{4\cdot 19}=\frac{5\cdot 3}{19}=\frac{15}{19}$$

Volviendo a $P_1=1-P_0$ , dar $P_1=1-\frac{15}{19}=\frac{4}{19}$ .

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