Por qué la suma infinita de sumandos finitos converge en esta prueba $\sum 1/p$ ¿converger?

Question

En esta prueba de la universidad de Warwick ( pdf ) hay un paso que supone que la suma infinita de sumandos finitos converge.

¿Por qué?

Puedo ver por qué cada sumando $\sum_p1/p^s$ para $s \geq 2$ converge, pero no por qué una suma infinita de éstas.

Answer 1

Esa es una buena pregunta que no es obvia (al menos en mi mente). Por suerte, no es muy difícil mostrar algo aún más fuerte:

$$\sum_{s=2}^\infty \sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{sp^s}<\sum_{s=2}^\infty \sum_{p\in\mathbb{P}}\frac{1}{p^s}<\sum_{s=2}^\infty \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^s}$$

Dado que estos términos son todos positivos, si la serie converge debe converger absolutamente. Por lo tanto, somos libres de cambiar el orden de las sumas sin afectar a la convergencia o divergencia global. Entonces

$$=\sum_{n=2}^\infty \sum_{s=2}^\infty \frac{1}{n^s}=\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n(n-1)}=1$$

Concluimos que la serie global está acotada y por tanto converge.