Cuatro círculos besos

Question

¿Cómo se puede ir sobre cómo solucionar el siguiente problema?

Inscribir un círculo en un triángulo arbitrario. Llaman de la radio de $r_1$. Inscribir más de tres círculos, de manera que cada uno es tangente a dos lados de el triángulo y el primer círculo (es decir, cada uno en una esquina diferente). Llame a la radios $r_2, r_3, r_4$. Encontrar una relación entre el $r_1, r_2, r_3$ y $r_4$.

El más prometedor método de ataque para mí fue considerar los triángulos isósceles en cada esquina: la base está la línea tangente al punto de intersección de la bisectriz de un ángulo del triángulo y el círculo. Pero estoy atascado.

Cualquier sugerencia muy apreciado.

Answer 1

Estoy usando la misma notación como en el enlace mencionado por David Mitra. Por la similitud que hemos $$ \frac{r}{OA}=\frac{r_a}{OA-r-r_a}=\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) $$ donde $\alpha=\angle A$. Entonces $$ \frac{r_a}{r} = \frac{1-\sin(\alpha/2)}{1+\sin(\alpha/2)} = \frac{1-\cos((\beta+\gamma)/2)}{1+\cos((\beta+\gamma)/2)} = \tan\left(\frac{\beta+\gamma}{4}\right)^2 $$ donde hemos utilizado que $\alpha+\beta+\gamma=\pi$. Del mismo modo $$ \frac{r_b}{r} = \tan\left(\frac{\alpha+\gamma}{4}\right)^2 \qquad\qquad \frac{r_c}{r} = \tan\left(\frac{\alpha+\beta}{4}\right)^2 $$ Por lo tanto, $\sqrt{r_ar_b}+\sqrt{r_ar_c}+\sqrt{r_br_c}$ puede ser escrito como $$ \begin{split} \frac{\sqrt{r_ar_b}+\sqrt{r_ar_c}+\sqrt{r_br_c}}{r} = \frac{\sin(\rho)\sin(\sigma)\cos(\tau)+\sin(\rho)\cos(\sigma)\sin(\tau) +\cos(\rho)\sin(\sigma)\sin(\tau)}{\cos(\rho)\cos(\sigma)\cos(\tau)} \end{split} $$ donde $\rho=(\beta+\gamma)/4$, $\sigma=(\alpha+\gamma)/4$, y $\tau=(\alpha+\beta)/4$. Tenga en cuenta que $\rho+\sigma+\gamma=\pi/2$. Considere la posibilidad de $x$, $y$, $z$ tal que $x+y+z=\pi/2$. Entonces $$ \begin{split} \sin(x)\sin(y)\cos(z) &= \frac{1}{2}(\cos(x-y)-\cos(x+y))\cos(z) \\&= \frac{1}{4}(\cos(x-y+z)+\cos(x-y-z) -\cos(x+y+z)-\cos(x+y-z)) \\&= \frac{1}{4}( \cos\left(\frac{\pi}{2}-2y\right) + \cos\left(-\frac{\pi}{2}+2x\right) - \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2z\right) \\&=\frac{1}{4}\left( \sin(2y)+\sin(2x)-\sin(2z)\right) \end{split} $$ Y del mismo modo $$ \begin{split} \cos(x)\cos(y)\cos(z) &= \frac{1}{2}(\cos(x-y)+\cos(x+y))\cos(z) \\&= \frac{1}{4}(\cos(x-y+z)+\cos(x-y-z) +\cos(x+y+z)+\cos(x+y-z)) \\&=\frac{1}{4}\left( \sin(2y)+\sin(2x)+\sin(2z)\right) \end{split} $$ Esto significa que $(\sqrt{r_ar_b}+\sqrt{r_ar_c}+\sqrt{r_br_c})/r$ es igual a $$ \frac{\sqrt{r_ar_b}+\sqrt{r_ar_c}+\sqrt{r_br_c}}{r} = \frac{\sin(2\rho)+\sin(2\sigma)+\sin(2\tau)}{\sin(2\rho)+\sin(2\sigma)+\sin(2\tau)}=1 $$