¿Puedo pedir el límite como $x$ se acerca a $\lim_{x \to 0-}\ln x$ ? Por favor, explíquelo. Es porque como el límite de una función sólo existe si el lim as $x$ se acerca a algún número $n$ tanto del lado positivo como del negativo es el mismo, no estoy seguro de que esté convencido de que el límite como $x$ se acerca a $0$ para $\ln x$ Existe. Sé que es infinito negativo desde el lado positivo, pero ¿desde el lado negativo?
Respuestas
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Rolf Hoyer
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Alec
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Para que exista un límite, los dos límites que se aproximan desde el lado izquierdo y el derecho deben coincidir.
Es decir, necesitamos $$\lim\limits_{x\to0^-}\ln(x) = \lim\limits_{x\to0^+}\ln(x)$$ que sea cierto.
Desde $\ln(x)$ no está definido para $x\leq 0$ asumiendo que estamos evaluando sobre los reales, el límite de la izquierda no puede ser evaluado, y por lo tanto el límite no existe.
Si estás evaluando sobre los números complejos, eso es un Algo así como diferente, pero dada su redacción, he asumido que estamos hablando de los reales aquí.
Ian Ringrose
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Para todos los números reales positivos $x$ y $y$ , $\;\;\;\; \ln(-x) \: = \: \ln(x) + (\pi \hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}i) \:\:\:\:$ .
Por lo tanto,
$\displaystyle\lim_{x\to 0^{\hspace{.03 in}-}} \ln(x) \;\;\; = \;\;\; \displaystyle\lim_{x\to 0^{\hspace{.02 in}+}} \: (\ln(x) + (\pi \hspace{-0.04 in}\cdot \hspace{-0.04 in}i)) \;\;\; =$
$\left(\displaystyle\lim_{x\to 0^{\hspace{.02 in}+}} \ln(x)\hspace{-0.05 in}\right) + \left(\displaystyle\lim_{x\to 0^{\hspace{.02 in}+}} (\pi \cdot i)\hspace{-0.05 in}\right) \;\;\; = \;\;\; (-\infty)+(\pi \cdot i) \;\;\; = \;\;\; $ $\infty$
.
