¿Por qué la teoría de modelos internos necesita tanta teoría de conjuntos descriptiva (y viceversa)?

Question

Tengo curiosidad por saber cuánta teoría de conjuntos descriptiva hay en la teoría de modelos internos.

Por ejemplo, el resultado absoluto de Shoenfield se basa en la construcción del árbol de Shoenfield cuya proyección es $\aleph_1$ -Suslin. También el árbol de Schoenfield es homogéneo, lo que significa que el límite directo $M_x$ de los ultrapoderes por las medidas $\mu_{x\upharpoonright n}$ está bien fundada. Las medidas $\mu_{x\upharpoonright n}$ se definen en las secciones del árbol. También tenemos que $L(\mathbb{R}) \vDash AD$ es equiconsistente con $ZFC+$ hay infinitos cardenales de Woodin. La teoría descriptiva de conjuntos habla mucho de los conjuntos homogéneos de Suslin y de los árboles homogéneos (preparan el camino para los resultados de determinismo), pero estos conceptos parecen ser en sí mismos muy importantes para la teoría de modelos internos (un simple hecho: un conjunto $X$ es homogéneamente Suslin si $X$ es continuamente reducible a la bien fundada de las torres de medidas). El árbol de Martin Solovay es el que da $\Sigma^1_3$ absoluta entre $V$ y una extensión genérica $V[G]$ asumiendo la mensurabilidad. Además, el teorema de Kechris-Martin tiene una prueba puramente teórica descriptiva y otra puramente teórica del modelo interno. Un teorema de Woodin afirma que $(\Sigma^2_1)^{Hom_{\infty}}$ Las sentencias son absolutas para el forzamiento de conjuntos si hay cardinales de Woodin arbitrariamente grandes.

Mi pregunta es por qué hay tantos vínculos entre la teoría descriptiva de conjuntos y la teoría de modelos internos. Me encantaría que algún experto me hablara de la intuición de lo que realmente ocurre. La relación entre ambos campos no parece "ad hoc", parece como si hubiera una estructura muy profunda, hermosa y natural. Me disculpo de antemano por la vaguedad de mi pregunta. Gracias.

Answer 1

Creo que en cierto modo tú mismo has respondido a tu pregunta: vemos que para demostrar propiedades sobre conjuntos, digamos dentro de la jerarquía proyectiva, necesitamos representaciones de esos conjuntos de reales como árboles pero, además, árboles bonitos con ciertas propiedades (y los árboles homogéneos que mencionas, en particular, con medidas adjuntas). Conseguir esto último implica cardinales medibles, como mínimo; y para conseguir la determinabilidad de PD o AD tenemos que ser capaces de desplazar esos árboles de formas más sutiles para demostrar que los complementos de los árboles agradables, y las proyecciones de esos complementos, etc., también tienen propiedades agradables, y esto requiere cardinales de Woodin, etc...

A la inversa, encontramos argumentos descriptivos de la teoría de conjuntos involucrados en el análisis de la ratón componentes que entran en la elaboración de los modelos internos superiores, en particular esto es necesario para la llamada inducción del modelo central. Para construir tales modelos hay que tener algo de proceso inductivo para hacerlo, y para empezar, esto implica un análisis de los niveles inferiores de un modelo putativo, y la descripción de esos niveles es, o puede verse como, descriptiva de la teoría de conjuntos sobre los conjuntos de reales del modelo. Empieza a parecer inevitable que la DST y la teoría del modelo interno estén así inextricablemente unidas. Así, el hecho de que el teorema de Kechris-Martin tenga dos estilos de demostración empieza a parecer las dos caras de una misma moneda.

Aunque no pretendo que esta sea una respuesta exhaustiva o completa a su pregunta, (¡dudé en responder a esto ya que no me estoy erigiendo como "un experto" a quien usted pregunta!) se podría añadir que un aspecto al menos, es la siguiente respuesta a la pregunta (más simple, lateral) que a menudo se hace "¿Por qué grandes cardinales?" o "¿Por qué se necesitan árboles tan grandes, y concomitantemente, grandes conjuntos, medidas, etc. para estos análisis?" Es posible ver esto, al menos en el ámbito de la determinación, como una simple extensión de lo que se necesita para analizar Borel: Friedman demostró que necesitaríamos iteraciones de la operación de conjuntos de potencia (y Colección para reunir los conjuntos resultantes) con un número aproximado de iteraciones que proceden de forma escalonada a través de la complejidad de los conjuntos de Borel para mostrar su determinación (por lo tanto, para $\alpha \geq \omega$ se necesitaría $\alpha$ muchos iterados del conjunto de energía, etc. para obtener $Det(\Sigma^0_\alpha)$ ). La prueba de Martin de la determinación de Borel mostró que Friedman tenía toda la razón: ya necesitamos árboles cada vez más grandes, o espacios si se quiere, en los que desentrañar los conjuntos de Borel a un cierto nivel y mostrar su representación clopada (y por tanto su condición de determinados) en un espacio correspondiente más grande. Así que: agotamos el poder de ZF para mostrar que hay suficientes árboles buenos para establecer la determinación de Borel. Para obtener niveles más altos de determinación vamos a necesitar ir más allá de ZF y utilizar axiomas fuertes de infinito, es decir, cardinales grandes.

Así, toda la empresa abarca un espectro a través de la construcción de modelos de fragmentos de la teoría de números de segundo orden número de segundo orden (hasta $Det(\Sigma^0_3$ ) digamos, a través de modelos de fragmentos de ZF de cierta altura ordinal incontable (Determinación de Borel, por lo que aquí usamos modelos internos "débiles" de fragmentos de ZF de altura de conjunto), y luego altura completa de los modelos ordinales de ZF, (para $Det(\Pi^1_1)$ ) y ahora viene lo mismo con los modelos internos para los cardenales más grandes, aunque con argumentos más sofisticados.

Answer 2

Philip ha dado una buena respuesta, pero permíteme añadir algunos puntos.

La cuestión es que, si bien las TMI y las TDC estaban muy alejadas en su día, con el paso de los años ha quedado claro que parte de las TDC y las TDC se ocupan exactamente del mismo problema.

Puede que la frase anterior no sea del todo objetiva, pero en cualquier caso, ése parece ser el punto de vista de algunas personas que se dedican a la teoría de modelos internos (incluido el mío). El objetivo principal de la TMI es construir modelos que sean correctos sobre el universo. ¿Cómo se mide esta corrección? Bueno, existe la jerarquía de Levy y hay una versión más refinada y más útil de la misma, a saber, la jerarquía de Wadge. Así que para precisar la pregunta, lo que hacemos en la teoría de modelos internos es que intentamos construir y analizar modelos canónicos llamados ratones que capturan los niveles de la jerarquía de Wadge. En su día, no estaba tan claro que existiera una relación tan profunda entre la jerarquía de Wadge (o sus formas más refinadas, los conjuntos universalmente Baire, o los conjuntos homogéneamente Suslin) y la jerarquía de los grandes cardinales. Ahora, la conexión es mucho más clara y transparente.

El horario de verano es realmente inevitable. El problema técnico que la gente que hace IMT está tratando de resolver es la construcción de $\omega_1+1$ estrategias de iteración. Estas estrategias de iteración permiten construir árboles de altura $\omega_1$ y entonces se garantiza que cualquier árbol de este tipo debe tener una rama. Pero un momento, sólo en ZFC hay árboles de altura $\omega_1$ sin ramas. Entonces, ¿cómo vamos a asegurarnos de que estas estrategias construyan sólo árboles de altura $\omega_1$ para los que hay ramas. La respuesta debe ser que la estrategia tiene varias propiedades parecidas a la DST, como que es universalmente Baire o hom Suslin y etc (es un bonito ejercicio demostrar que tales estrategias son realmente agradables).

En cualquier caso, al hacer IMT, correr a DST parece ser inevitable. Probablemente no sea tan cierto si se hace DST (con DST nos referimos al libro de Moschovakis, no a las direcciones que tomó desde los años 90). Pero aún así hay muchos teoremas que se pueden demostrar bajo AD usando IMT y no se conoce ninguna prueba que evite IMT. Por ejemplo, todo cardinal regular por debajo de Theta es un cardinal medible, hecho que se ha demostrado utilizando la TMI y no se conoce ninguna prueba que evite la TMI.

Sin embargo, la razón por la que los temas son tan cercanos es simplemente que estudian el mismo objeto (es decir, la jerarquía de Wadge) desde diferentes puntos de vista. DST lo hace utilizando métodos de la teoría de la recursión (lema de la codificación, argumentos de la clase de puntos, etc.) y IMT lo hace traduciendo la jerarquía de Wadge en jerarquía de estrategias de iteración, que es lo que estudia IMT.