Teorema del grafo cerrado entre espacios de Banach: suficiencia de la secuencia nula

Question

Para un operador lineal entre espacios de Banach $T:E \rightarrow F$ ¿por qué la implicación aparentemente más débil $$x_n \rightarrow 0,\quad Tx_n \rightarrow y \implies y = 0$$ rendimiento $$x_n \rightarrow x,\quad Tx_n \rightarrow y \implies y = Tx.$$ Soy nuevo en la teoría de los operadores y me gustaría entender la Teorema del gráfico cerrado mejor.

Answer 1

Es una consecuencia de la linealidad. Supongamos que se tiene la condición formalmente más débil, y se tiene $x_n \to x$ , $Tx_n \to y$ . Entonces pon $\xi_n := x_n - x$ . De ello se desprende que $\xi_n \to 0$ y $T\xi_n = T(x_n - x) = Tx_n - Tx \to \eta := y - Tx$ .

Por la condición asumida $\eta = 0$ es decir $y = Tx$ . Por tanto, la condición más general es la siguiente.

Answer 2

Supongamos que la primera afirmación que has escrito es cierta. Ahora supongamos que tenemos $x_n\longrightarrow x$ y $Tx_n\longrightarrow y$ . Esto significa que $x_n - x \longrightarrow 0$ y $Tx_n - Tx = T(x_n - x)\longrightarrow y - Tx$ (debido a la linealidad de $T$ ) y se deduce que $y - Tx = 0$ o $y = Tx$ .