Cómo resolver $-(AX)^{-1}+A^{-1}=X^{-1}B$ y demostrar $B$ ¿es invertible?

Question

En mis deberes, mi profesor hizo una pregunta así:

Si $A$ y $X$ son matrices invertibles y $-(AX)^{-1}+A^{-1}=X^{-1}B$ , demuestre que $B$ es invertible.

Creo que esta pregunta está rota, porque:

(1) $-(AX)^{-1}+A^{-1}=X^{-1}B$

(2) $-X^{-1}A^{-1}+A^{-1}=X^{-1}B$

(3) $X(-X^{-1}A^{-1}+A^{-1})=XX^{-1}B$

(4) $-XX^{-1}A^{-1}+XA^{-1}=XX^{-1}B$

(5) $-A^{-1}+XA^{-1}=B$

Así, la pregunta se convirtió en invertible + invertible = $B$ y no puedo probar que $B$ es invertible en este caso. ¿Alguna idea?

Answer 1

El grupo de matrices invertibles no es cerrado bajo adición, por ejemplo, si $I$ es la matriz de identidad, entonces $I - I = 0$ : una suma de dos invertibles no tiene por qué dar lugar a un invertible, por lo que en sí misma no es una contradicción.

Sin embargo, de su trabajo se obtiene $(X-I)A^{-1} = B$ y aquí vemos claramente un problema cuando $X = I$ .