Dejemos que $F$ sea un campo finito y que $G=GL_n(F)$ sea el grupo lineal general sobre $F$ . Hay una acción de grupo $G\times F^n \to F^n$ dado por $(T,x) \mapsto Tx$ . Sospecho que esta acción no es transitiva, pero no estoy seguro de que mi prueba funcione.
Lema: Sea $G$ sea un grupo finito que actúa transitivamente sobre un conjunto $X$ . Entonces $G = \cup_{x\in X} \text{Stab}(x)$ si y sólo si $|X| = 1$ . ( $\text{Stab}(x) = \{ g \in G \mid gx = x\}$ ).
Este lema se puede demostrar utilizando el lema de Burnside. En mi caso, con $G = GL_n(F)$ y $X = F^n$ tenemos $\text{Stab}(0) = G$ y por lo tanto $G = \cup_{x\in X} \text{Stab}(x)$ . Desde $|F^n| >1$ esta acción no puede ser transitiva por el lema anterior.
¿Hay una manera más fácil de demostrar que esta acción no es transitiva?
