Duda en encontrar el término general de la secuencia dada

Question

La siguiente imagen tiene tanto el problema como su solución. Tengo una duda en la solución, cuyos detalles he incluido debajo de la imagen.

(Supongamos que los términos de la serie dada se generan a partir de un polinomio)

Aquí, el autor ha asumido $T_n$ como una ecuación cúbica arbitraria (Paso indicado por el cuadro ROJO).

Mi duda es, ¿por qué la ha asumido como una ecuación cúbica y no como una ecuación cuadrática o bicuadrática o de cualquier otro grado?

Por favor, no utilices la regla de interpolación hacia delante de Newton, ya que no conozco dichas reglas. Por favor, explique en términos simples y propiedades.

Por favor, aclare mi duda.

Answer 1

El autor está asumiendo que los términos originales de la serie son valores de un polinomio en valores integrales crecientes. Así, cuando una secuencia de diferencias hace que todos los términos sean iguales en algún nivel $m$ la secuencia $T_n$ representa un polinomio de grado $m$ . Para más información, véase el teorema $1$ en Tablas de diferencia de secuencias . En su caso, tomar la secuencia de las diferencias de tercer orden en base a esas diferencias de segundo orden hace que todos los valores sean $6$ . Esto significa que la secuencia original representa una ecuación cúbica.

Además, aunque el autor no lo utiliza, y la página enlazada sólo lo insinúa, la secuencia de valores constantes son $a_n(n!)$ donde $a_n$ es el coeficiente del $x^n$ plazo. Así, en este caso, $6 = a_3(3!) \implies a_3 = 1$ . El autor podría haber utilizado esto para determinar que $a = 1$ más directamente.

Answer 2

(Suponiendo que los términos de la serie dada se generan a partir de un polinomio)

Cuando se toma la diferencia, se reduce el grado en $1$ .

Como ejemplo, para un cuadrático $T_n = n^2$ las diferencias de primer orden estarían en A.P: $$(n+1)^2 - n^2 = 2n+1$$

Y para un cúbico $T_n = n^3$ , las diferencias de primer orden te dan una cuadrática: $$(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$$

Ahora, si se toma la diferencia en la cuadrática anterior, se obtiene una secuencia en A.P.