¿Cuál es la intersección de la variedad Segre en $\mathbb{P}^5$ y la superficie veronesa en $\mathbb{P}^5$ ?

Question

Este es un ejercicio del capítulo 8 de Ideals, Varieties and Algorithms de Cox et al.

La superficie proyectiva veronesa en $\mathbb{P}^5$ se define como el cierre proyectivo de la superficie $S$ que es la imagen del mapa $$\phi(x_1,x_2)=(x_1,x_2,x_1^2,x_1x_2,x_2^2)$$ Lo denotaré por $V_V$ .

La variedad Segre se define como la imagen de $\sigma: \mathbb{P}^2\times \mathbb{P}^1\rightarrow \mathbb{P}^5$ donde $$\sigma(x_0,x_1,x_2,y_0,y_1)=(x_0y_0,x_0y_1,x_1y_0,x_1y_1,x_2y_0,x_2y_1)$$ Lo denotaré por $V_S$ .

La pregunta es cuál es la intersección de $V_V$ y $V_S$ .

Mi intento:

He calculado la variedad utilizando la base de Groebner. Esto es lo que obtuve: $$V_V=V(x_1^2-x_0x_3,x_1x_2-x_4x_0,x_1x_4-x_2x_3,x_1x_5-x_2x_4,x_2^2-x_5x_0,x_3x_5-x_4^2)\\ V_S=(x_0x_3-x_1x_2,x_0x_5-x_1x_4,x_2x_5-x_3x_4)$$

Veo que $V_S$ no se puede transformar a las ecuaciones en $V_V$ por cambio de variables.

Así que no estoy seguro de cómo proceder a partir de aquí.

Gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

La intersección de dos variedades viene dada por la suma de sus ideales. Así que estás viendo el ideal generado por la unión de los generadores de $V_V$ y $V_S$ .

Inmediatamente vemos que ambos $x_1^2-x_0x_3$ y $x_0x_3-x_1x_2$ son generadores de $I=I_{S \cap V}$ . Pero esto implica que $x_1^2-x_1x_2=x_1(x_1-x_2)$ es un generador de $I$ . Así, $I$ es reducible.

Podemos intentar encontrar la intersección directamente. Un punto en la intersección debe satisfacer $x_1(x_1-x_2)=0$ . Por lo tanto, asuma $x_1 \neq x_ 2$ . Entonces debemos tener $x_1=0$ . Entonces el ideal se reduce a $$ I = (x_0x_3,x_4x_0,x_2x_3,x_2x_4,x_2^2-x_5x_0,x_3x_5-x_4^2,x_0x_5,x_2x_5-x_3x_4) $$ Eliminando los duplicados y simplificando, esto es $$ I = (x_0x_3,x_0x_4,x_0x_5,x_2x_3,x_2x_4,x_2^2,x_3x_5-x_4^2,x_2x_5-x_3x_4) $$ Esto es claramente reducible. Por ejemplo, $x_0x_3=0$ . Supongamos que primero $x_0=0$ . Entonces el (radical del ideal es) $$ (x_2,x_3x_5-x_4^2,x_3x_4) $$ Esto también se descompone. Supongamos primero $x_3=0$ . Entonces el ideal es $(x_2,x_4^2)$ . Por lo tanto, hemos encontrado un punto en la intersección, a saber, el dado por el ideal $(x_1,x_0,x_3,x_2,x_4)$ . Este es el punto $(0:0:0:0:1)$ en $\mathbb P^5$ .

Si asumimos $x_3=0$ anterior, obtenemos por el mismo procedimiento el ideal $(x_0x_5,x_2,x_4)$ . Esto nos da dos puntos más, a saber $(0:0:0:0:0:1)$ y $(1:0:0:0:0:0)$ .

Por último, asuma que $x_1=x_2$ . Entonces las ecuaciones se simplifican a $$ (x_1^2-x_0x_3,x_1^2-x_0x_4,x_1x_4-x_1x_3,x_1x_4-x_1x_4,x_1^2-x_0x_5,x_3x_5-x_4^2,x_0x_3-x_1^2,x_0x_5-x_1x_4,x_1x_5-x_3x_5) $$ Podemos suponer $x_1 \neq 0$ ya que hemos tratado ese caso. Por lo tanto, podemos dividir por $x_1$ en todas partes. $$ (x_1^2-x_0x_3,x_1^2-x_0x_4,x_3-x_4,x_1^2-x_0x_5,x_3x_5-x_4^2,x_0 x_3-x_1^2,x_0x_5-x_1x_4,x_1x_5-x_3x_5). $$ No es una simplificación demasiado grande, pero ahora vemos que $x_3=x_4$ . Esto vuelve a simplificar mucho, ya que obtenemos que $x_3x_5-x_3^2=0$ . Esto implica $x_3=0$ ou $x_5=x_3$ . Primero asuma $x_3=0$ . Entonces un cálculo similar da el punto $(0:0:0:0:0:1)$ que ya hemos encontrado.

Supongamos ahora $x_3 \neq 0$ . Entonces $x_3=x_5$ , por lo que obtenemos $$ (x_1^2-x_0x_3,x_0x_3-x_1^2,x_0x_3-x_1x_3,x_1x_3-x_3^2) $$ Desde $x_3 \neq 0$ obtenemos $x_0=x_1$ . Y $x_1=x_3$ . En definitiva, entendemos el punto $(1:1:1:1:1:1)$ .

En conclusión: la intersección es la unión de 4 puntos.

Si tienes Macaulay2, todo esto podría haberse hecho de la siguiente manera:

i23 : decompose ideal mingens (I1 + I2)

o23 = {ideal (x  - x , x  - x , - x  + x , x  - x , x  - x ), ideal (x , x , x , x , x ), ideal (x ,
               2    4   1    4     4    5   0    4   3    4           4   2   1   0   3           4 
      -------------------------------------------------------------------------------------------------
      x , x , x , x ), ideal (x , x , x , x , x )}
       2   1   5   0           4   2   1   5   3

Aquí $I1,I2$ son los ideales de la variedad Veronese y Segre resepctivamente. Vemos que los ideales que obtenemos corresponden a los puntos encontrados anteriormente.