Demostrar

Question

¿Cómo podemos probar la desigualdad siguiente?

$$2^{135}+3^{133}<4^{108}$$

Answer 1

En primer lugar,

$$2^{135}=2^7\cdot2^{128}=2^7\cdot(2^8)^{16}<(2^8)^{17}=256^{17}\;.$$

A continuación,

$$3^{133}=3^3\cdot3^{130}=3^3\cdot(3^5)^{26}=3^3(243)^{26}<3^3(256)^{26}=27\cdot256^{26}\;.$$

Por lo tanto,

$$2^{135}+3^{133}<256^{17}+27\cdot256^{26}=(1+26\cdot256^9)256^{17}<256^{10}\cdot256^{17}=256^{27}=4^{108}\;.$$

Answer 2

Si bien hay varias respuestas más inteligentes ahí arriba, no pude resistir publicar esta respuesta.

2^135 =                          43556142965880123323311949751266331066368
3^133 =   2865014852390475710679572105323242035759805416923029389510561523
4^108 = 105312291668557186697918027683670432318895095400549111254310977536

Por lo que incluso por el ojo, puede confirmar que $2^{135}+3^{133}<4^{108}$.

Answer 3

Usando $3^5 < 2^8$ tenemos $3^{130}<2^{208}$.

$$2^{135}+3^{133}< 2^{135}+3^{3}2^{208}<2^{208}+3^{3}2^{208}=(1+27)4^{104}<4^4 \cdot 4^{104} $$

Answer 4

Tenga en cuenta que $2^6<3^4$, que $$2^{135}=2^{129}2^6<2^{129}3^4<3^{129}3^4=3^{133}.$$ Therefore $% $ $2^{135}+3^{133}<3^{133}+3^{133}=2\cdot 3^{133}<3\cdot 3^{133}=3^{134}.$

A continuación tenga en cuenta que $3^5<2^8$, que $$3^{134}<2^{134\cdot (8/5)}<2^{215}<2^{216}=4^{108}.$ $

Answer 5

Sugerencia: de registro $_2(3)\approx 1.5850$... Considere escribir $3^{133}$ como un poder de $2$ y factoring.