Si se da $\sum_{r=1}^{m-1}\binom r3$ ¿cómo se evalúa la suma cuando $n<r$ en $\binom nr$ ?

Question

Corrígeme si estoy haciendo la suma correctamente -

$$\sum_{r=1}^{m-1}\binom r3=\binom 13+\sum_{r=2}^{m-1}\binom r3$$
$$\sum_{r=1}^{m-1}\binom r3=\binom 13+\binom 23+\sum_{r=3}^{m-1}\binom r3$$
$$\sum_{r=1}^{m-1}\binom r3=\binom 13+\binom 23+\binom 33+\sum_{r=4}^{m-1}\binom r3$$
......so en ¿Cómo se resuelve $\binom 13$ o cualquier $\binom nr$ donde $n<r$ ?

Answer 1

Cuando $n < r$ ,

$$\binom{n}{r}=0$$

Su suma equivale a

$$\sum\limits_{r=3}^{m-1}\binom{r}{3} = \sum\limits_{r=3}^{m-1}\frac{r (r-1)(r-2)}{6} = \sum\limits_{r=3}^{m-1}\frac{r^3-3r^2+2r}{6}$$

$$= \frac{1}{6}\sum\limits_{r=3}^{m-1} r^3 - \frac{1}{2}\sum\limits_{r=3}^{m-1} r^2+\frac{1}{3}\sum\limits_{r=3}^{m-1} r$$

$$= \left[\frac{1}{6}\sum\limits_{r=1}^{m-1} r^3 - \frac{1}{2}\sum\limits_{r=1}^{m-1} r^2+\frac{1}{3}\sum\limits_{r=1}^{m-1} r\right]-\left[\frac{1}{6}\sum\limits_{r=1}^{2} r^3 - \frac{1}{2}\sum\limits_{r=3}^{2} r^2+\frac{1}{3}\sum\limits_{r=3}^{2} r\right]$$

A partir de aquí puedes terminar el problema utilizando las fórmulas de la suma de la primera $k$ enteros, primero $k$ cuadrados, y primero $k$ cubos.

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\sum_{r=0}^{n}\binom ra=\sum_{r=a}^n\binom ra=\sum_{r=a+1}^n\binom ra=\binom{n+1}{a+1}$$ como $$\binom ra=0\qquad \text{for} \qquad r<a$$

Por lo tanto, poner $n=m-1$ y $a=3$ tenemos $$\sum_{r=0}^{m-1}\binom r3=\sum_{r=3}^{m-1}\binom r3=\sum_{r=4}^{m-1}\binom r3=\binom m4\qquad \blacksquare$$