Advertencia: Como no sé lo que te puede resultar útil, esta respuesta puede contener partes que te parezcan poco relevantes o demasiado prolijas. También puede ser demasiado matemática para tu gusto. Tal vez alguien más venga y dé una respuesta más física.
TLDR: Los kets son vectores columna, los bras son vectores fila. No son conjugados, sino transposiciones conjugadas. Están en igualdad de condiciones porque se puede pasar de uno a otro, pero son objetos diferentes que viven en espacios de Hilbert diferentes. Estos espacios son isomorfos (a través de la "transposición conjugada") por lo que a menudo se pueden identificar, pero no son lo mismo.
Consideremos primero el caso en que el espacio de estados $H$ es de dimensión finita. Es decir, es un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{C}$ con producto interno hermitiano. Los vectores de este espacio se denominan kets, y se escriben $|\phi\rangle$ . Si elegimos una base ortonormal $(|\phi_1\rangle, \ldots, |\phi_n\rangle)$ entonces cualquier ket puede escribirse de forma única como $|\phi\rangle=c_1|\phi_1\rangle+ \ldots+ c_n|\phi_n\rangle)$ donde $c_i$ son números complejos. Esto significa que podemos identificar el ket con el vector columna $\begin{bmatrix} c_1\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}$ . Entonces, debido a la ortonormatividad de la base $(|\phi_1\rangle, \ldots, |\phi_n\rangle)$ el producto hermitiano entre dos vectores columna de este tipo $\begin{bmatrix} c_1\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} z_1\\\vdots\\z_n\end{bmatrix}$ es igual $c_1 \bar{z}_1+\ldots c_n \bar{z}_n$ .
Asociado al espacio vectorial $H$ está el espacio vectorial de las funciones lineales sobre $H$ llamado dual de $H$ y escrito $H^*$ . Los elementos de $H^*$ son mapas $l:H\to \mathbb{C}$ que son lineales (lo que significa que $l$ tiene la propiedad de que $l(z|\phi\rangle+w |\psi\rangle)=zl(|\phi\rangle)+w l(|\psi\rangle)$ para todos $|\phi\rangle, |\psi\rangle\in H$ y todos $z, w \in \mathbb{C}$ ).
Se puede comprobar directamente que el conjunto de estos mapas es un espacio vectorial.
Ahora, utilizando nuestra representación de elementos de $H$ (alias kets) como vectores columna, podemos ver que cualquier vector fila $\begin{bmatrix}w_1&\ldots & w_n\end{bmatrix}$ representa un elemento de $H^*$ mediante la regla habitual de multiplicación de matrices $\begin{bmatrix}w_1&\ldots & w_n\end{bmatrix} \left(\begin{bmatrix} c_1\\\vdots\\c_n\end{bmatrix} \right)=\begin{bmatrix}w_1&\ldots & w_n\end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}=w_1 c_1+\ldots _+w_nc_n$ .
De hecho, también se puede comprobar que cada elemento de $H^*$ puede representarse de esta manera: si $l$ es CUALQUIER mapa lineal, toma $w_i=l(|\phi_i\rangle)$ . Entonces, por linealidad $l(|\phi\rangle)=\begin{bmatrix}w_1&\ldots & w_n\end{bmatrix}(|\phi\rangle)$ .
Recapitulando, hasta ahora tenemos: elementos de $H$ son kets, que tras la elección de la base se representan mediante vectores columna. Los elementos de $H^*$ son funciones lineales sobre kets, representadas por vectores de fila.
Ahora, utilizando el producto Hermitiano podemos asociar a cada ket un elemento de $H^*$ . Esto se hace de la siguiente manera: dado un ket $|\phi\rangle$ definir el mapa lineal $l:H\to \mathbb{C}$ tomar una arbitraria $|\psi\rangle\in H$ al producto hermitiano de $|\psi \rangle$ y $|\phi \rangle$ (en este orden). Por propiedades del producto Hermitiano esto es lineal (en otro orden habría sido conjugado-lineal), por lo que es efectivamente un elemento de $H^*$ . Este elemento se denomina sujetador asociado a $|\phi\rangle$ y se escribe como $\langle \phi|$ .
Obsérvese que en la construcción de este sujetador sólo se utilizó el producto hermitiano. Es independiente de nuestra elección de base para $H$ y de representar los kets como vectores columna.
Ahora mira cómo queda este sujetador en nuestra representación elegida. Para el ket $|\phi\rangle$ representado como $\begin{bmatrix} c_1\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}$ el sujetador $\langle \phi|$ envía un ket $|\psi\rangle$ representado como $\begin{bmatrix} z_1\\\vdots\\z_n\end{bmatrix}$ a $z_1 \bar{c}_1+\ldots z_n \bar{c}_n$ , por el primer párrafo. Esto a su vez significa que el sujetador $|\phi\rangle$ debe ser representado por el vector de filas $\begin{bmatrix}\bar{c}_1&\ldots & \bar{c}_n\end{bmatrix}$ .
Así que, para resumir: a cada ket (vector) hay un bra (función lineal) asociado, y si el ket está representado por un vector columna, el bra correspondiente está representado por el vector conjugado de transposición (fila). Además, todo bra es representable por algún vector fila por lo que proviene de algún ket. Esto significa que la "transposición conjugada" es un isomorfismo conplejo-conjugado entre el espacio de kets y de bras ( $H$ y $H^*$ ).
Como resultado, podemos tratar los sujetadores como kets conjugados transpuestos - y los kets como sujetadores conjugados transpuestos. Pero, efectivamente, los bras son "funciones lineales sobre kets".
Ahora bien, ¿qué tiene que ver esto con el teorema de representación de Riesz? El teorema simplemente dice que una imagen similar es verdadera en el caso de una dimensión infinita $H$ . En ese caso no podemos elegir una base finita, por lo que no podemos operar con vectores columna y fila tan directamente. También tenemos que estipular que nuestras funciones lineales en $H^*$ son contínuas (lo que era automático en el caso finito-dimenasional). No obstante, seguimos teniendo que a cada ket $|\phi\rangle$ corresponde un sujetador $\langle \phi|$ en $H^*$ obtenido mediante el producto hermitiano sobre $H$ como antes. El teorema dice que, de hecho, cada elemento de $H^*$ es de esta forma -- algo que podíamos ver fácilmente antes eligiendo una base y representando todo como vectores columna y fila, pero que ahora está menos claro. No obstante, es cierto, y podemos pensar en todas las funciones lineales continuas sobre $H$ como sujetadores.
