Demostrar que $\sqrt{2} + \sqrt{n}$ es irracional $\forall \ n \in \mathbb{N}$ .
He intentado la contradicción, pero no puedo encontrar una respuesta
Hice esto donde para $\frac ab$ , $a \in \mathbb{N}, b \in \mathbb{Z}$ y en forma reducida, y $0 \not \in \mathbb{N}$
$$\sqrt 2 + \sqrt n = \frac ab$$ $$\frac {2+n}{\sqrt 2 - \sqrt n} = \frac ab$$ $$\frac {(2+n)(\sqrt 2 + \sqrt n)}{2 + n} = \frac ab$$ $$\frac {(2+n)(a)}{(2-n)(b)}=\frac ab$$ $$\frac {2+n}{2-n}=1$$ $$2+n=2-n$$ $$2+2n=2$$ $$n=0$$ $$n \in \mathbb{N} \therefore n \not =0$$ $$\therefore \sqrt{2} + \sqrt{n} \not \in \mathbb{Q}$$
Sin embargo, esto parece claramente defectuoso, ya que incluso si $n = 0$ todavía sería irracional, y que subsitiera $\sqrt 2 + \sqrt n$ para $\frac ab$ parece bastante incorrecto.
Más bien se trata de un intento desesperado, muy seguro de que ni siquiera está cerca.
