Sistema de ecuaciones diferenciales: ¿por qué lo resuelve el ejemplo?

Question

Considerar el sistema con condiciones: $\quad y_1(0) = 1,\quad y_2(0) = -1,\quad y_3(0) = 0,\quad y_4(0) = 2$

$\begin{align} &{y_1}'= y_1 + 6\,y_2\\ &{y_2}'= y_2 + 6\,y_3\\ &{y_3}'= y_3 + 6\,y_4\\ &{y_4}'= y_4 \end{align}$

lo que se puede escribir como matriz: $A = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 6 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$

De ahí la solución: $\exp(A\,x)\,y_0 = e^{x}\,\underbrace{\left(\begin{array}{cccc} 1 & 6\,x & 18\,x^2 & 36\,x^3\\ 0 & 1 & 6\,x & 18\,x^2\\ 0 & 0 & 1 & 6\,x\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)}_{B} \,\left(\begin{array}{c}y_1(0)\\y_2(0)\\y_3(0)\\y_4(0)\end{array}\right) = B\,\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\\2\end{array}\right) $

Ahora a mi pregunta: ¿cómo se resuelve el sistema anterior? Puede sonar estúpido, porque entiendo que se resuelve algo sin saber qué. Por ejemplo: ¿qué es $y_1, y_2,y_3,y_4$ en la matriz de solución? ¿La 1ª, 2ª, 3ª, 4ª fila o entrada? Pero incluso entonces no puedo unirlo.

También: ¿Cómo se construye el vector de condiciones de partida? ¿Cuál sería la diferencia entre $y_1(0) = 1$ y $y_1(1) = 1$

Puede que sean preguntas esenciales, pero estos Sistemas me están dando una buena patada.

Answer 1

Nos dan el sistema

$$\begin{align} &{y_1}'= y_1 + 6\,y_2 = 1\, y_1 + 6\, y_2 + 0 \,y_3 + 0\, y_4\\ &{y_2}'= y_2 + 6\,y_3 = 0 \,y_1 +1\, y_2 + 6\, y_3 + 0\, y_4\\ &{y_3}'= y_3 + 6\,y_4 = 0\, y_1 + 0\, y_2 + 1\, y_3 + 6\, y_4\\ &{y_4}'= y_4 = 0 \,y_1 + 0 \,y_2 + 0\, y_3 + 1\, y_4 \end{align}$$

Esto se puede escribir de forma compacta como

$$y' = A y = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 6 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \begin{pmatrix} y_1\\y_2\\y_3\\y_4 \end{pmatrix}$$

Ahora resolvemos el matriz exponencial o matriz exponencial (tenga en cuenta que hay muchos se acerca a para resolver un sistema, como los valores propios/vectores propios, la diagonalización (cuando es posible), el algoritmo de Putzer...)

$$e^{Ax} = e^x\left(\begin{array}{cccc} 1 & 6\,x & 18\,x^2 & 36\,x^3\\ 0 & 1 & 6\,x & 18\,x^2\\ 0 & 0 & 1 & 6\,x\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)$$

Una vez que tenemos la matriz exponencial y nos dan las condiciones iniciales (podrían haber elegido cualquier cosa), podemos escribir la solución como

$$y(x) = e^{Ax} y_0 = e^x\left(\begin{array}{cccc} 1 & 6\,x & 18\,x^2 & 36\,x^3\\ 0 & 1 & 6\,x & 18\,x^2\\ 0 & 0 & 1 & 6\,x\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\-1\\0\\2\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 72 e^x x^3-6 e^x x+e^x \\ 36 e^x x^2-e^x \\ 12 e^x x \\ 2 e^x \\ \end{array} \right)$$

Esto significa que

$$\begin{align} y_1(x) &= 72 e^x x^3-6 e^x x+e^x\\ y_2(x) &= 36 e^x x^2-e^x \\ y_3(x) &= 12 e^x x \\y_4(x) &= 2 e^x \end{align}$$

Podemos comprobar esta solución, por ejemplo

$$y_1' = y_1 + 6 y_2$$

Cálculo del LHS

$$y_1' = 72 e^x x^3+216 e^x x^2-6 e^x x-5 e^x$$

Cálculo de la RHS

$$y_1 + 6 y_2 = 72 e^x x^3-6 e^x x+e^x + 6(36 e^x x^2-e^x) = 72 e^x x^3+216 e^x x^2-6 e^x x-5 e^x$$

El LHS $= $ RHS, que se comprueba y esto parece una solición válida - al igual que los otros tres resultados.