Código Hamming(3,4)

Question

Me han pedido que encuentre la matriz de comprobación de paridad del código Ham(3,4) para poder utilizar la decodificación del síndrome. Si dejamos que

$\mathbb{F_4} = \{0, 1 , \omega, \omega^2 | \omega^2 = \omega + 1 \}$

Tenemos que $n = \frac{4^3 - 1}{3} = 21$ y $r = 3$ .

Mi libro dice que la matriz de comprobación de paridad debe ser una $3\times21$ y que las columnas sean los elementos de V $(3,4)$ (excepto $000$ .) Sin embargo, ¿no hay $4^3 = 64$ elementos en V $(3,4)$ ? En otras palabras, ¿la matriz de comprobación de paridad no debería tener $63$ columnas, no $21$ ?

Answer 1

Todo vector no nulo en $\Bbb{F}_4^3$ tiene tres múltiplos escalares no nulos. Para obtener el código Hamming sólo se puede utilizar uno de ellos como columna de la matriz de comprobación. La razón es fácil de entender. Si la columna $j$ es un múltiplo de la columna $i$ entonces se obtienen palabras clave de peso dos con los únicos componentes no nulos en esas dos posiciones.

Hay muchas maneras de evitar esos múltiplos escalares. Una forma es insistir en que la primera entrada no nula se normalice a $1$ . Hay exactamente $21$ vectores en $\Bbb{F}_4^3$ tal que el primer componente no nulo $=1$ . El otro $42$ vectores son múltiplos de los $21$ .