El cisne de Serre Teorema de topología dice que si $X$ es compacto Hausdorff y $C(X)$ el anillo de funciones continuas en $X$, entonces la categoría de finito generado proyectivo $C(X)$-módulos es equivalente a la categoría de los fibrados vectoriales en $X$. ¿Existe un teorema análogo para la noción dual de módulos inyectiva?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
YequalsX
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Esto no es realmente una respuesta. Más bien, se trata de una cuestión diferente, es decir, el análogo de tu pregunta en la geometría algebraica. Quizás todavía es de algún interés.
En la geometría algebraica, uno tiene un análogo de la Serre--Swan, en el que f.g. proyectivas de módulos sobre un anillo (conmutativo, con 1) $A$ corresponden al rango finito localmente libre de poleas en Espec $A$.
Si recuerdo correctamente, en algunos supuestos, se puede obtener inyectiva $A$-módulos como local cohomology gavillas de la estructura de la gavilla apoyado en (no necesariamente cerrado) puntos de Espec $A$.
E. g. si $A = k[x]$ ($k$ un algebraicamente cerrado de campo), entonces el campo de funciones racionales $k(x)$ se obtiene como local cohomology gavilla $\mathcal H^0_{\eta}(\mathcal O)$ donde $\eta$ es el genérico punto de Espec $A$, mientras que para un punto de cierre $(x-a)$, el inyectiva módulo $k[x,1/(x-a)]/k[x]$ se obtiene como local cohomology gavilla $\mathcal H^1_{(x-a)}(\mathcal O).$
Esta construcción es debido a Grothendieck, creo yo, y es discutido en Hartshorne el libro de los Residuos y la dualidad, como una manera de construir canónica inyectiva resoluciones.
E. g. al $A = k[x]$, tenemos la inyectiva resolución $$0 \to k[x] \rightarrow k(x) \to \bigoplus_{a \in k} k[x,1/(x-a)]/k[x] \to 0,$$ que se puede expresar en términos de las poleas en $X = $ Espec $A$ $$0 \a \mathcal O_X \a \mathcal H^0_{\eta}(X,\mathcal O_X) \a \bigoplus_{a \in k} \mathcal H^1_{(x-a)}(X,\mathcal O_X) \a 0;$$ así, la estructura gavilla tiene un inyectiva resolución cuyo $p$th término implica una suma de más de local cohomology poleas apoyado en codimension $p$ puntos.
No tengo mucho de una sensación como si uno puede llevar este cargo en cualquier forma útil para la configuración topológica, ya que la geometría de subconjuntos cerrados en la geometría algebraica es mucho más rígido que en la topología general.
