Límites y continuidad: una prueba de análisis real.

Question

Dejemos que $E \subseteq R$ , $p$ es el punto límite de $E$ y $f\colon E\to R$ . Supongamos que existe una constante $M>0$ y $L\subseteq R$ tal que $|f(x)-L| \leq M|x-p|$ para todos $x\subseteq E$ . Prueba $\lim_{x\to p} f(x) = L$ .

No estoy seguro de cómo empezar con esta prueba. ¿Lo demuestro por contradicción? ¿Se deduce por definición?

Mi enfoque es el siguiente:

Prueba:

Desde $p$ es un punto límite de $E$ y $E\subset R$ . $x \to p$ así que $0 < |x - p| < \epsilon$ y $|f(x) -L|\leq M|x-p|$ $|f(x)-L| \leq M \epsilon$ Entonces supongamos que existe una constante $M > 0$ si elegimos $M=1$ entonces $|f(x)-L| \leq \epsilon$ así que $\lim_{x\rightarrow p} f(x) = L$ ?

No creo que sea correcto, ¿alguien puede ayudarme a enfocar esta prueba de otra manera?

Answer 1

Desde $p$ es un punto límite de $E$ existe una secuencia $\{x_n\}\in E$ tal que $\{x_n\}\rightarrow p$ . Entonces, dado cualquier $\epsilon>0$ existe un $N\in\mathbb{N}$ tal que $|x_n - p|<\frac{\epsilon}{M}$ para $n>N$ . De su suposición sobre $f$ , $|f(x_n)-L|\leq M|x_n -p|$ para todos $x_n \in E$ . Entonces, por definición de límite $\lim_{x\rightarrow p}f(x) = \lim_{n\rightarrow \infty} f(y_n)$ siempre que $y_n \rightarrow p$ . Así, consideremos una secuencia $x_n\rightarrow p$ entonces tenemos

$|f(x_n)-L|\leq M|x_n-p| < \epsilon$ ,

cuando $n>N$ para la elección correcta de $N$ Pero tenemos la garantía de que existe uno. Esto es válido para cualquier elección de $\epsilon$ Así que $f(x_n)\rightarrow L$ o $\lim_{n\rightarrow\infty}f(x_n)\rightarrow L$ como se desea. Así que estuviste muy cerca.