Energía cinética de la función de onda

Question

Supongamos que nos han proporcionado la forma de alguna función de onda en un gráfico, pero no la expresión matemática exacta de la función de onda $\langle x|\psi\rangle $ . Ahora me piden que encuentre la energía cinética media o el valor de la expectativa del momento sin analizar nada más que la cifra que me dan. ¿Cómo puedo abordar problemas como éste en general?

Por ejemplo, supongamos que tenemos una función de onda simétrica como esta :

Tenemos que encontrar el valor esperado de la energía cinética, o más bien la energía cinética media.

Ahora mi suposición es que, como la función de onda es una constante entre $-a$ a $a$ la primera derivada será cero y entre $[-(a+b),-a]$ y $[(a+b),a]$ Es $\psi(x)=mx$ . Por lo tanto la segunda derivada debe desaparecer también, la energía cinética que tiene la doble derivada de la función de onda dentro de la integral debe ser por lo tanto cero. Pero siento que me falta algo.

La respuesta dada es $$T=\frac{3\hbar^2}{2mb(3a+b)}.$$

Cualquier ayuda sobre cómo abordar este problema sería muy apreciada.

Answer 1

Puedes empezar por encontrar una expresión adecuada para la función.

$$ \psi(x)=\begin{cases} k & |x|\lt a \\ \frac{k}{b}(x+a+b) & -a\lt x\lt -(a+b) \\ \frac{k}{b}(a+b-x) & a\lt x\lt (a+b) \end{cases} $$

Entonces hay que normalizar la función de onda y encontrar el valor de $k$ . Hágalo integrando región por región, de forma fragmentada. Debería obtener $k^2=\frac{3}{2(3a+b)}$

Ahora tienes que encontrar $\langle\psi|\frac{p_{x}^2}{2m}|\psi\rangle$

Esto equivale a :

$$\frac{-\hbar^2}{2m}\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\frac{\partial^2\psi(x)}{\partial x^2}dx$$

A partir de aquí, tienes dos opciones. Observas que, utilizando la integración por partes :

$$\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\frac{\partial^2\psi(x)}{\partial x^2}dx=\psi(x)\int\frac{\partial^2\psi(x)}{\partial x^2}dx|_{-\infty}^{\infty}\space -\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial\psi(x)}{\partial x} (\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\partial^2\psi(x)}{\partial x^2}dx)dx$$

El primer término del lado derecho es $0$ , como $\psi(x)\rightarrow 0$ en ambos infinitos. Por lo tanto, usted tiene :

$$\frac{-\hbar^2}{2m}\int_{-\infty}^{\infty}\psi^*(x)\frac{\partial^2\psi(x)}{\partial x^2}dx=\frac{-\hbar^2}{2m}\int_{-\infty}^{\infty}(\frac{\partial\psi(x)}{\partial x})^2dx$$

Puede calcular fácilmente $(\frac{\partial \psi(x)}{\partial x})^2$ en estos intervalos. Después de la integración, debería obtener $\frac{\hbar^2 k^2}{mb}$ .

Si se introduce el valor de $k$ que obtuviste de la normalización, deberías obtener la expresión deseada.

Otra alternativa es observar que, la doble derivada de un 'kink' es una función delta de Dirac. Por lo tanto, debería tener :

$$\frac{\partial^2\psi(x)}{\partial x^2}=-\frac{k}{b}(\delta(x+a)+\delta(x-a))$$

Se puede introducir esto en la integral, y obtener lo mismo, anotando $\psi(a)=\psi(-a)=k$

También se puede resolver la integral de esta manera y llegar a la expresión final.

Answer 2

Esta es una de las sublemas clásicas de la QM en la que se necesita saber si la función de onda está en el dominio del operador hamiltoniano no acotado.

Una discusión legible es la de Francois Gieres Sorpresas matemáticas y el formalismo de Dirac en la mecánica cuántica Véase, en particular, el ejemplo 7 de la página 8 de su informe. Allí muestra una función cuya cuarta derivada es idéntica a cero, pero la expectativa de $H^2\propto \partial^4_x$ no es cero. La explicación es que la función de onda no está en el dominio de $H^2$ . En su caso, su función de onda no está en el dominio de $\partial^2$ .