Secuencia lacunar

Question

¿Existe una definición estándar de secuencia lacunar?

Supongamos que $0 < a_1 < a_2 < \cdots.$

He leído dos artículos que utilizan el término recientemente. Uno requiere $$ \liminf_n\frac{a_{n+1}}{a_n}>1 $$ mientras que el otro sólo requiere $$ \lim_na_{n+1}-a_n=+\infty. $$

Los dos difieren, por supuesto: $a_1=1,\ a_{n+1}=a_n+\sqrt{a_n}$ tiene una relación que tiende a 1 pero una diferencia que diverge.

Además, el Entrada del MOE para la secuencia lacunar es diferente de ambos (una forma finita del primero): $$ \frac{a_{n+1}}{a_n}\ge\lambda>1. $$

Answer 1

Creo que históricamente la terminología "lacunar" deriva de Hadamard (alrededor de Teorema de la brecha de Ostrowski--Hadarmard ), y hay otros resultados como éste, en los que se necesita la condición de la proporción (en lugar de la diferencia).

[De hecho, en algunos artículos que tratan de las secuencias lacunares se pueden leer cosas como: sea una secuencia lacunar que cumpla la condición de la Brecha de Hadamard; es decir, que la relación de términos sucesivos esté acotada lejos de uno].

Si uno impone esto para todos como OEM o sólo asintóticamente como el primero en la pregunta (admitiendo que lim se entiende realmente como lim inf) no es para estas aplicaciones realmente relevante. Y, a grandes rasgos, no debería ser relevante con demasiada frecuencia para las preguntas que uno suele hacer sobre secuencias inifnitas, series y similares.

Ahora bien, si el lim en la pregunta se refería a que el límite tiene que existe esto me parece sorprendente.

Nunca vi la condición impuesta para las diferencias como se describe en la pregunta (pero esto no significa mucho).