Límite de un operador y valores propios

Question

¿pueden ayudarme a resolver este ejercicio? Definir en $L^2(-1,1)$ $$ T_k[f](x):= \int_{-1}^1 \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}(xy)^{2k+1} f(y)\,\,dy $$ i) demostrar que $||T_k||\to 0$ ;

ii) encontrar los valores propios de $T_0$ .

No sé cómo resolver el primer punto, mientras que he intentado resolver el segundo punto resolviendo una ecuación de Fredholm: $\int_{-1}^1xyf(y)\,dy=\lambda f(x)$ . Así que tengo $xC=\lambda f(x)$ , donde $C=\int_{-1}^1yf(y)\,dy$ , multiplicar $x$ en $L^2$ y encuentro $(x,x) C= \lambda C$ . Así que $\lambda=2/3$ ¿es correcto?

Answer 1

Usando una estimación muy cruda, y con Cauchy-Schwarz cerca del final, \begin{align} \|T_kf\|^2 &=\int_{-1}^1\left|\int_{-1}^1\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\,x^{2k+1}y^{2k+1}\,f(y)\,dy\right|^2\,dx\\ \ \\ &\leq\int_{-1}^1\left(\int_{-1}^1\frac{1}{(2k+1)!}\,|x|^{2k+1}|y|^{2k+1}\,f(y)\,dy\right)^2\,dx\\ \ \\ &\leq\frac{1}{(2k+1)!}\int_{-1}^1\left(\int_{-1}^1\,|f(y)|\,dy\right)^2\,dx\\ \ \\ &=\frac{2}{(2k+1)!}\left(\int_{-1}^1\,|f(y)|\,dy\right)^2\\ \ \\ &\leq\frac{2}{(2k+1)!}\left(\int_{-1}^1\,|f(y)|^2\,dy\int_{-1}^11^2\,dy\right)^2\\ \ \\ &=\frac{8}{(2k+1)!}\,\|f\|^2\xrightarrow[k\to\infty]{}0. \end{align}

Tu argumento para el valor propio me parece bien.

Answer 2

$T_k[f](x):= \displaystyle \int_{-1}^1 \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}(xy)^{2k+1} f(y)\,\,dy$ $= \displaystyle \int_{-1}^1 \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}x^{2k+1}y^{2k+1} f(y)\,\,dy = \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} \int_{-1}^1 y^{2k+1} f(y)\,\,dy ; \tag 1$

está claro que

$y^{2k + 1} \in L^2(-1, 1); \tag 2$

por lo tanto, utilizando Cauchy-Schwarz y el hecho de que $\vert x^{2k + 1} \vert \le 1$ para $x \in (0, 1)$ ,

$\left \vert \displaystyle \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!} x^{2k+1} \int_{-1}^1 y^{2k+1} f(y)\,\,dy \right \vert = \left \vert \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!} \right \vert \vert x^{2k + 1} \vert \left \vert \displaystyle \int_{-1}^1 y^{2k+1} f(y)\,\,dy \right \vert$ $\le \left \vert \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!} \right \vert \vert x^{2k + 1} \vert \left \Vert y^{2k + 1} \right \Vert \left \Vert f(y) \right \Vert \le \left \vert \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!} \right \vert \left \Vert y^{2k + 1} \right \Vert \left \Vert f(y) \right \Vert, \tag 3$

donde $\Vert \cdot \Vert = (\cdot, \cdot)^{1/2}$ deinir la norma habitual en $L^2(-1, 1)$ combinamos (1) y (3):

$\Vert T_k[f](x) \Vert \le \left \vert \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!} \right \vert \left \Vert y^{2k + 1} \right \Vert \left \Vert f(y) \right \Vert; \tag 4$

observamos que

$y \in (-1, 1) \Longrightarrow 0 \le (y^{2k + 1})^2 = y^{4k + 2} \le 1, \tag 6$

y así

$\Vert y^{2k + 1} \Vert^2 = \displaystyle \int_{-1}^1 (y^{2k + 1})^2 \; dy \le \int_{-1}^1 1 \; dy = 2 \Longrightarrow \Vert y^{2k + 1} \Vert \le \sqrt 2; \tag 7$

En este sentido, vemos que (4) da como resultado

$\Vert T_k[f](x) \Vert \le \left \vert \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!} \right \vert \sqrt 2 \left \Vert f(y) \right \Vert; \tag 8$

por lo tanto,

$\Vert T_k \Vert \le \left \vert \dfrac{(-1)^k}{(2k+1)!} \right \vert \sqrt 2 \to 0 \; \text{as} \; k \to \infty, \tag 9$

que resuelve la parte (i); en cuanto a la parte (ii), la ecuación propia de $T_0$ es

$T_0[f](x) = x \displaystyle \int_{-1}^1 y f(y)\,\,dy = \lambda f(x), \tag{10}$

que muestra que

$f(x) = \alpha x \tag{11}$

para algunos $\alpha \ne 0$ Debemos excluir $\alpha = 0$ ya que, por definición, los vectores propios no pueden desaparecer; se deduce entonces que

$\displaystyle \int_{-1}^1 y f(y) \; dy = \alpha \int_{-1}^1 y^2 \; dy \ne 0; \tag{12}$

ahora (10) también da como resultado

$\left (\displaystyle \int_{-1}^1 y f(y)\,\,dy \right ) (x, x) = \left (x, x \displaystyle \int_{-1}^1 y f(y)\,\,dy \right ) = \lambda (x, f(x)) = \lambda \displaystyle \int_{-1}^1 yf(y) \; dy, \tag{13}$

y en virtud de (12) concluimos que

$\lambda = (x, x) = \displaystyle \int_{-1}^1 y^2 \; dy = \left ( \dfrac{y^3}{3} \right \vert_{-1}^1 = \dfrac{2}{3}, \tag{14}$

asociado al vector propio dado en (11).